RESOLVENT ESTIMATES AND SPECTRAL PROPERTIES OF A CLASS OF DEGENERATE ELLIPTIC OPERATORS IN A BOUNDED DOMAIN

The paper is devoted to the study of the spectral asymptotics of elliptic operators of arbitrary even order in a bounded domain with power degeneration along the entire boundary. The operators under study are generated by sesquilinear forms that may not satisfy the coercivity condition. The main part of the published papers in this area refers to the case when the coefficients of the studied operators can be represented as a product of a bounded function and the degree of distance to the boundary. In contrast, here we study elliptic operators whose lower coefficients belong to certain L_p-spaces with power weights.

Earlier, in many papers, where the estimation of the resolvent of non-self-adjoint operators generated by sesquilinear forms was studied, the inequality of the form k(A− λE)⁻¹k ≤ M|λ|^−1/2 was proved. Here we prove one representation of the resolvent of the operator A that allows us to obtain an inequality of this type with 1 instead of 1/2. On the basis of such inequalities, we can investigate the summability in the Abel– Lidskiy sense of the system of root vector functions of the operator A. It is also proved that the operator A has a discrete spectrum, and the asymptotics of the function N(t), the number of eigenvalues of the operator A whose magnitude is at most t, taking into account their algebraic multiplicities, is studied. 

1. Никольский С. М, Лирозкин П. И, Мирошин Н. В. Весовые функциональные пространства и их приложения к исследованию краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений // Изв. вузов. Математика. 1988. № 8. С. 4–30.

2. Мирошин Н. В. Внешняя вариационная задача Дирихле для эллиптического оператора с вырождением // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова РАН. 1992. Т. 194. С. 179–195.

3. Исхоков С. А. О гладкости решения вырождающихся эллиптических уравнений // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, № 4. С. 641–653.

4. Бойматов К. Х. Матричные дифференциальные операторы, порожденные некоэрцитивными формами // Докл. АН. 1994. Т. 339, № 1. С. 5–10.

5. Бойматов К. Х. Некоторые спектральные свойства матричных дифференциальных операторов, далеких от самосопряженных // Функцион. анализ и его прил. 1995. Т. 29, № 3. С. 55–58.

6. Бойматов К. Х., Исхоков С. А. О разрешимости и гладкости решения вариационной задачи Дирихле, связанной с некоэрцитивоной билинейной формой // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова РАН. 1997. Т. 214. С. 107–134.

7. Бойматов К. Х. О базисности по Абелю системы корневых вектор-функций вырожденноэллиптических дифференциальных операторов с сингулярными матричными коэффициентами // Сиб. мат. журн. 2006. Т. 47, № 1. С. 46–57.

8. Исхоков С. А., Куджмуродов А. Я. О вариационной задаче Дирихле для вырождающихся эллиптических операторов // Докл. АН. 2005. Т. 403, № 2. С. 165–168.

9. Исхоков С. А. Неравенство Гординга для эллиптических операторов с вырождением // Мат. заметки. 2010. Т. 87, № 2. С. 201–216.

10. Исхоков С. А., Гадоев М. Г., Якушев И. А. Неравенство Гординга для эллиптических операторов высшего порядка с нестепенным вырождением и его приложения // Уфим. мат. журн. 2016. Т. 8, № 1. С. 54–71.

11. Гадоев М. Г., Константинова Т. П. О разрешимости вариационной задачи Дирихле для одного класса вырождающихся эллиптических операторов // Мат. заметки СВФУ. 2014. Т. 21, № 2. C. 8–21.

12. Исхоков С. А., Гадоев М. Г., Константинова Т. П. Вариационная задача Дирихле для вырождающихся эллиптических операторов, порожденных некоэрцитивными билинейними формами // Докл. АН. 2015. Т. 462, № 1. С. 7–10.

13. Бойматов К. Х. Двусторонные оценки собственных значений задачи Дирихле для одного класса вырождающихся эллиптических дифференциальных операторов // Тр. Мат. инта им. В. А. Стеклова АН СССР. 1985. Т. 172. С. 16–28.

14. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.

15. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1965.