УРАВНЕНИЕ ЭЙНШТЕЙНА НА ТРЕХМЕРНЫХ ЛОКАЛЬНО СИММЕТРИЧЕСКИХ (ПСЕВДО)РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ С ВЕКТОРНЫМ КРУЧЕНИЕМ

Последнее время становится актуальным изучение (псевдо)римановых многообразий с различными афинными связностями, отличными от связности ЛевиЧивита. Метрическая связность с векторным кручением (также известная как полусимметрическая связность) является одной из часто рассматриваемых связностей.

Связь между конформными деформациями римановых многообразий и метрическими связностями с векторным кручением на них была установлена в работах К. Яно. А именно, риманово многообразие допускает метрическую связность с векторным кручением, тензор кривизны которой равен нулю, тогда и только тогда, когда оно является конформно плоским.

В данной работе впервые исследуется уравнение Эйнштейна на трехмерных локально симметрических (псевдо)римановых многообразиях с метрической связностью с инвариантным векторным кручением. Получена теорема о том, что все такие многообразия либо являются многообразиями Эйнштейна относительно связности Леви-Чивита, либо являются конформно плоскими. 

1. Cartan E. Sur les vari´et´es a` connexion affine, et la th´eorie de la relativit´e g´en´eralis´ee. II // Ann. Sci. Ec. Norm. Sup´er. (3). 1925. V. 42. P. 17–88.´

2. Muniraja G. Manifolds admitting a semi-symmetric metric connection and a generalization of Schur′s theorem // Int. J. Contemp. Math. Sci. 2008. V. 3, N 25. P. 1223–1232.

3. Agricola I., Thier C. The geodesics of metric connections with vectorial torsion // Ann. Global Anal. Geom. 2004. V. 26. P. 321–332.

4. Murathan C., Ozgu¨r C.¨ Riemannian manifolds with a semi-symmetric metric connection satisfying some semisymmetry conditions // Proc. Est. Acad. Sci. 2008. V. 57, N 4. P. 210–216.

5. Yilmaz H. B., Zengin F. O., Uysal. S. A.¨ On a semi symmetric metric connection with a special condition on a Riemannian manifold // Eur. J. Pure Appl. Math. 2011. V. 4, N 2. P. 152–161.

6. Zengin F. O., Demirbag˘ S. A., Uysal. S. A., Yilmaz H. B.¨ Some vector fields on a Riemannian manifold with semi-symmetric metric connection // Bull. Iran. Math. Soc. 2012. V. 38, N 2. P. 479–490.

7. Agricola I., Kraus M. Manifolds with vectorial torsion // Differ. Geom. Appl. 2016. V. 46. P.130–147.

8. Yano K. On semi-symmetric metric connection // Rev. Roum. Math. Pures Appl. 1970. V. 15.P. 1579–1586.

9. Barua B., Ray A. Kr. Some properties of a semi-symmetric metric connection in a Riemannian manifold // Indian J. Pure Appl. Math. 1985. V. 16, N 7. P. 736–740.

10. De U. C., De B. K. Some properties of a semi-symmetric metric connection on a Riemannian manifold // Istanb. Univ. Fen. Fak. Mat. Derg. 1995. V. 54. P. 111–117.¨

11. Бессе А. Многообразия Эйнштейна: В 2 т. Пер. с англ. М.: Мир, 1990.

12. Chaturvedi B. B., Gupta B. K. Study on semi-symmetric metric spaces // Novi Sad J. Math.

13. V. 44, N 2. P. 183–194.

14. Sekigawa K. On some 3-dimensional curvature homogeneous spaces // Tensor New Ser. 1977.

15. V. 31. P. 87–97.

16. Calvaruso G. Homogeneous structures on three-dimensional Lorentzian manifolds // J. Geom. Phys. 2007. V. 57. P. 1279–1291.

17. Хромова О. П. Применение пакетов символьных вычислений к исследованию оператора одномерной кривизны на нередуктивных однородных псевдоримановых многообразиях // Изв. АлтГУ. 2017. № 1. С. 140–143.

18. Можей Н. П. Когомологии трехмерных однородных пространств // Тр. БГТУ. 2014. № 6. С. 13–18.