ОБ УСЛОВИЯХ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ ДИХОТОМИИ СИСТЕМ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРИ ВОЗМУЩЕНИИ КОЭФФИЦИЕНТОВ

Рассматривается задача об экспоненциальной дихотомии для систем линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами. Исследуется вопрос о допустимых возмущениях на матрицу коэффициентов, при которых сохраняется экспоненциальная дихотомия. В предположении, что исходная система линейных разностных уравнений экспоненциально дихотомична, в работе указаны условия на возмущения, при которых возмущенная система является также экспоненциально дихотомичной. Условия записаны в виде оценок на норму матриц возмущений и имеют конструктивный характер. При их получении не использовалась спектральная информация, поскольку задача о нахождении спектра для несамосопряженных матриц является плохо обусловленной с точки зрения теории возмущений. В работе применялся подход, основанный на разрешимости матричных дискретных уравнений Ляпунова. Поэтому установленные результаты могут быть использованы при численном исследовании задачи о дихотомии. 

1. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970.

2. Годунов С. К. Задача о дихотомии спектра матрицы // Сиб. мат. журн. 1986. Т. 26, № 5.

3. С. 25–37.

4. Булгаков А. Я., Годунов С. К. Круговая дихотомия матричного спектра // Сиб. мат.

5. журн. 1988. Т. 29, № 5. С. 59–70.

6. Булгаков А. Я. Обоснование гарантированной точности выделения инвариантных подпространств несамосопряженных матриц // Тр. Ин-та математики АН СССР. Сиб. отдние. Новосибирск. 1989. Т. 15. С. 12–93.

7. Годунов С. К. Современные аспекты линейной алгебры. Новосибирск: Науч. книга, 1997.

8. Абрамов А. А. О граничных условиях в особой точке для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1971. Т. 11, № 1. С. 275–278.

9. Roberts J. D. Linear model reduction and solution of the algebraic Riccati equation by use of the sign-function // Int. J. Control. 1980. V. 32, № 4. P. 677–687.

10. Balzer L. A. Accelerated convergence of the matrix sign-function method of solving Lyapunov, Riccati and other matrix equations // Int. J. Control. 1980. V. 32, № 6. P. 1057–1078.

11. Демиденко Г. В. О функциональном подходе к построению проекторов на инвариантные подпространства матриц // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39, № 4. С. 796–813.

12. Demidenko G. V. On constructing approximate projections onto invariant subspaces of linear operators // Int. J. Differ. Equ. Appl. 2001. V. 3, № 2. P. 135–146.

13. Демиденко Г. В. Об одном способе построения проекторов на инвариантные подпространства матриц // Сиб. журн. индустр. математики. 1998. Т. 1, № 1. С. 104–113.

14. Demidenko G. On a functional approach to spectral problems of linear algebra // Selcuk J. Appl. Math. 2001. V. 2, N 2. P. 39–52.

15. Годунов С. К., Кирилюк О. П., Костин В. И. Спектральные портреты матриц. Новосибирск, 1990. (Препринт / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики; № 3).

16. Bulgak H. Pseudoeigenvalues, spectral portrait of a matrix and their connections with different criteria of stability // Error Control and Adaptivity in Scientific Computing (H. Bulgak and C. Zenger, eds). Amsterdam: Kluwer Acad. Publ., 1999. P. 95–124 (NATO Sci. Ser.; V. 536).

17. Демиденко Г. В. Матричные уравнения. Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 2009.

18. Демиденко Г. В. Системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами // Сиб. журн. индустр. математики. 2013. Т. 16, № 4. С. 38–46.

19. Демиденко Г. В., Бондарь А. А. Экспоненциальная дихотомия систем линейных разностных уравнений с периодическими коэффициентами // Сиб. мат. журн. 2016. Т. 57, № 6. С. 1240–1254.