О СМЕШАННОЙ ЗАДАЧЕ E ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ НА ГРАНИЦЕ ОБЛАСТИ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 2–ГО ПОРЯДКА

Исследуется вопрос об однозначной разрешимости первой смешанной задачи для вырождающегося параболического уравнения 2-го порядка в случае, когда граничная и начальная функции принадлежат пространствам типа L2. Данная тематика берет начало с классических работ Ф. Рисса [1] и Литтлвуда и Пэли [2], посвященных граничным значениям аналитических функций. Дальнейшее развитие этой тематики для равномерно эллиптических уравнений получило в работах В. П. Михайлова, А. К. Гущина [3–9]. Условие гладкости границы (∂Q∈C²) можно ослабить (см. [7]). При наиболее слабых ограничениях на гладкость границы (и на коэффициенты уравнения) критерий существования граничного значения установлен в [7–9]. При этом, как показано в работе [9], все направления принятия граничных значений для равномерно эллиптических уравнений оказываются равноправными, решение обладает свойством, аналогичным свойству непрерывности по совокупности переменных. В случае вырождения уравнения на границе области, когда направления не являются равноправными, ситуация более сложная. При этом постановка первой краевой задачи определяется типом вырождения. В случае, когда значения соответствующей квадратичной формы вырождающегося эллиптического уравнения на векторе нормали отличны от нуля (вырождение типа Трикоми), корректна задача Дирихле, и свойства такого вырождающегося уравнения весьма близки к свойствам равномерно эллиптического уравнения. В частности, в этой ситуации справедливы аналоги теорем Рисса [1] и Литтлвуда — Пэли [2,3]. В случае вырождения типа Келдыша ситуация более сложная. Постановка первой краевой задачи и поведение решения вблизи границы определяются порядком вырождения уравнения, а в случае «сильного» вырождения — коэффициентами при младших членах. Вопросам разрешимости первой краевой задачи для вырождающихся эллиптических и параболических уравнений посвящено большое число работ. Достаточно отметить работы Ф. Трикоми [10], М. В. Келдыша[11], А. В. Бицадзе [12], С. А. Терсенова [13], И. М. Петрушко [14,15], О. А. Олейник, Е. В. Радкевича [16], Г. Фикеры [17] и др. Из недавних работ можно отметить [18]. В настоящей работе рассматривается случай сильного вырождения параболического уравнения 2-го порядка, когда соответствующая квадратичная форма убывает как r(x) и постановка первой смешанной задачи определяется коэффициентом при первой производной по нормали.

1. Riesz F. Uber die Randwerte einer analyschen Funktion // Math. Z. 1923. Bd 18, Heft 1.¨

2. S. 87–95.

3. Littlewood J., Paley R. Theorems on Fourier series and power series. II // Proc. Lond. Math. Soc. (3). 1936. V. 42. P. 52–89.

4. Littlewood J., Paley R. Theorems on Fourier series and power series. III // Proc. Lond. Math. Soc. (3). 1937. V. 43. P. 105–126.

5. Михайлов В. П. О граничных значениях решений эллиптических уравнений в областях с гладкой границей // Мат. сб. 1976. Т. 101, № 2. С. 163–188.

6. Михайлов В. П. О существовании предельных значений бигармонической функции на границе области // Докл. АН. 2004. Т. 395, № 4. С. 452–454.

7. Гущин А. К., Михайлов В. П. О граничных значениях в Lp, p> 1, решений эллиптических уравнений // Мат. сб. 1979. Т. 108б № 1. С. 3–21.

8. Петрушко И. М. О граничных значениях в Lp, p> 1, решений эллиптических уравнений в областях с ляпуновской границей // Мат. сб. 1983, Т. 120, № 4. С. 569–588.

9. Гущин А. К., Михайлов В. П. О существовании граничных значений решений эллиптического уравнения // Мат. сб. 1991. Т. 182, № 6. С. 787–810.

10. Гущин А. К. Некоторые свойства решений задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка // Мат. сб. 1998. Т. 189, № 7. С. 53–90.

11. Tricomi F. Sulle equazioni lineari alle derivate parziali di 20 ordine di tipo misto // Acc. Linc. Rend. 1923. V. 14. P. 133–247.

12. Келдыш М. В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области // Докл. АН СССР. 1951. Т. 77, № 2. С. 181–183.

13. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа. М.: Изд-во Академии наук СССР, 1959. (Итоги науки. Физ.-мат. науки).

14. Терсенов C. А. Введение в теорию уравнений, вырождающихся на границе. Новосибирск: НГУ, 1973.

15. Петрушко И. М. О граничных и начальных условиях в Lp, p> 1, решений параболических уравнений // Мат. сб. 1984. Т. 125, № 4. С. 489–521.

16. Петрушко И. М. О существовании граничных значений для решений вырождающихся эллиптических уравнений // Мат. сб. 1999. Т. 190, № 7. С. 41–72.

17. Олейник О. .А., Радкевич Е. В. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой // Итоги науки. Сер. Математика. Математический анализ. 1969. М.: ВИНИТИ, 1971. C. 7–252.

18. Фикера Г. К единой теории краевых задач для эллиптико-параболических уравнений второго порядка // Математика. 1963. Т. 7, № 6. C. 99–122.

19. Капицына Т. В. О существовании граничных и начальных значений для вырождающихся параболических уравнений в звездных областях // Мат. заметки СВФУ. 2018. Т. 25, № 4. C. 15–33.