THE DIRICHLET PROBLEM FOR THE HIGHER ORDER COMPOSITE TYPE EQUATIONS WITH DISCONTINUOUS COEFFICIENTS
https://doi.org/10.25587/SVFU.2021.56.53.002
Abstract
We study the Dirichlet problem for the composite type differential equations Dt[(−1)pDt2p+1u−h(x)uxx] +a(x)uxx +c(x,t)u = f(x,t) in the domain Q = {(x,t) : x ∈ (−1,0) ∪ (0,1), t ∈ (0,T), 0 < T < +∞}, where p ≥1 is an integer, Dtk = ∂k/∂tk , and Dt = ∂/∂t . The feature of such quations is that the coefficients h(x) and a(x) can have a discontinuity of the first kind when passing through the point x = 0. In addition to the usual Dirichlet boundary conditions, the problem under study also specifies the conjugation conditions on the line x = 0. Existence and uniqueness theorems are proved for regular solutions (those having all generalized Sobolev derivatives).
About the Author
A. I. Grigorieva
Ammosov North-Eastern Federal University, Institute of Mathematics and Informatics;
Academy of Sciences of the Republic of Sakha (Yakutia)
Russian Federation
Russian Federation
Aleksandra I. Grigorieva
Ammosov North-Eastern Federal University, Institute of Mathematics and Informatics,
48 Kulakovsky Street, Yakutsk 677000, Russia;
Academy of Sciences of the Republic of Sakha (Yakutia), 33 Lenin Avenue, Yakutsk 677000, Russia
References
1. Олейник О. А. Краевые задачи для линейных уравнений эллиптического и параболического типов с разрывными коэффициентами // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1961. Т. 25. С. 3–20.
2. Ильин В. А. О разрешимости задач Дирихле и Неймана для линейного эллиптического оператора с разрывными коэффициентами // Докл. АН СССР. 1961. Т. 137, № 1. С. 28–30.
3. Ильин В. А. Метод Фурье для гиперболического уравнения с разрывными коэффициентами // Докл. АН СССР. 1962. Т. 142, № 1. С. 21–24.
4. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.
5. Ильин В. А., Шишмарев И. А. Метод потенциалов для задач Дирихле и Неймана в случае уравнения с разрывными коэффициентами // Сиб. мат. журн. 1961. Т. 2, № 1. С. 46–58. 6. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа. М.: Изд-во АН СССР, 1959.
6. Ладыженская О. А., Ступялис Л. Об уравнениях смешанного типа // Вестн. Ленингр.
7. ун-та. 1967. № 18. С. 38–46.
8. Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа. М.: Наука, 1970.
9. Ладыженская О. А., Ступялис Л. Краевые задачи для уравнений смешанного типа // Тр. МИАН СССР. 1971. Т. 116. С. 101–136.
10. Ступялис Л. Краевые задачи для эллиптико-гиперболических уравнений // Тр. МИАН СССР. 1973. Т. 125. С. 211–229.
11. Джураев Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: Фан, 1986.
12. Моисеев Е. И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988.
13. Рогожников А. М. Исследование смешанной задачи, описывающей процесс колебаний стержня, состоящего из нескольких участков, при условии совпадения времени прохождения волн по каждому из этих участков // Докл. АН. 2012. Т. 441, № 4. С. 449–451.
14. Кулешов А. А. Смешанные задачи для уравнения продольных колебаний неоднородного стержня со свободным либо закрепленным правым концом, состоящего из двух участков разной плотности и упругости // Докл. АН. 2012. Т. 442, № 4. С. 451–454.
15. Рогожников А. М. Исследование смешанной задачи, описывающей процесс колебаний стержня, состоящего из нескольких участков с произвольными длинами // Докл. АН. 2012. Т. 444, № 5. С. 488–491.
16. Смирнов И. Н. О колебаниях, описываемых телеграфным уравнением в случае системы, состоящей из нескольких участков разной плотности и упругости // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 49, № 5. С. 643–648.
17. Potapova S. V. Boundary value problems for pseudoparabolic equations with a variable time direction. TWMS // J. Inequal. Pure Appl. Math. 2012. V. 3, N 1. P. 73.
18. Кожанов А. И., Потапова С. В. Задача Дирихле для одного класса уравнений составного типа с разрывным коэффициентом при старшей производной // Дальневост. мат. журн. 2014. Т. 14, № 1. С. 48–65.
19. Кожанов А. И., Шарин Е. Ф. Задача сопряжения для некоторых неклассических дифференциальных уравнений высокого порядка. II // Мат. заметки СВФУ. 2014. Т. 21, № 1. С. 18–28.
20. Кожанов А. И., Потапова С. В. Задача сопряжения для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками, со знакопостоянной функцией при старшей производной // Сиб. журн. чистой и прикл. математики. 2015. Т. 15, № 2. С. 51–59.
21. Кожанов А. И., Потапова С. В. Задача сопряжения для дифференциальных уравнений нечетного порядка с двумя временными переменными и с меняющимся направлением эволюции // Докл. АН. 2017. Т. 474, № 6. С. 661–664.
22. Кожанов А. И. Задача сопряжения для одного класса уравнений составного типа перменного направления // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: Ин-т математики СО РАН, 2002. С. 96–109.
23. Шубин В. В. Краевые задачи для уравнений третьего порядка с разрывным коэффициентом // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. 2012. Т. 12, № 1. С. 126–138.
24. Кожанов А. И., Шарин Е. Ф. Задача сопряжения для некоторых неклассических дифференциальных уравнений высокого порядка // Укр. мат. вiсник. 2014. Т. 11, № 2. С. 181–202.
25. Антипин В. И. Разрешимость краевой задачи для уравнения третьего порядка с меняющимся направлением времени // Мат. заметки ЯГУ. 2011. Т. 18, № 1. С. 8–15.
26. Pyatkov S. G., Popov S. V., Antipin V. I. On solvability of boundary value problem for kinetic operator-differential equations // Integral Equ. Operator Theory. 2014. V. 80, N 4. P. 557–580.
27. Демиденко Г. В., Успенский С. В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной. Новосибирск: Науч. кн., 1998.
28. Kozhanov A. I. Composite type equations and inverse problems. Utrecht: VSP, 1999.
29. Sviridyuk G. A., Fedorov V. E. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroup of operators. Utrecht: VSP, 2003.
30. Hayashi N., Kaikina E. I., Naumkin P. I., Shishmarev I. A. Asymptotic for dissipative nonlinear equations. Berlin: Springer-Verl., 2006.
31. Свешников А. Г., Альшин А. Б., Корпусов М. О., Плетнер Ю. Д. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа. М.: Физматлит, 2007.
32. Корпусов М. О. Разрушение в неклассических нелокальных уравнениях. М.: Либроком,
33.
34. Кожанов А. И. Псевдогиперболические и гиперболические уравнения с растущими младшими членами // Вестн. Челяб. гос. ун-та. 1999. Т. 3, № 2. С. 31–47.
35. Потапова С. В. О разрешимости краевых задач для псевдогиперболических уравнений переменного направления времени // Мат. заметки ЯГУ. 2011. Т. 18, № 1. С.108–124.
36. Кожанов А. И., Лукина Г. А. Псевдопараболические и псевдогиперболические уравнения в нецилиндрических по временной переменной областях // Мат. заметки СВФУ. 2019. Т. 26, № 3. С. 31–47.
37. Треногин В. A. Функциональный анализ. М.: Физматлит, 2007.
Review
For citations:
Grigorieva A.I. THE DIRICHLET PROBLEM FOR THE HIGHER ORDER COMPOSITE TYPE EQUATIONS WITH DISCONTINUOUS COEFFICIENTS. Mathematical notes of NEFU. 2021;28(4):17-29. (In Russ.) https://doi.org/10.25587/SVFU.2021.56.53.002
Views:
38
JATS XML
Email this article 