matmessМатематические заметки СВФУMathematical notes of NEFU2411-93262587-876XСеверо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосова10.25587/SVFU.2021.56.53.002matmess-207Research ArticleМАТЕМАТИКАЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ СОСТАВНОГО ТИПА ВЫСОКОГО ПОРЯДКА С РАЗРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИTHE DIRICHLET PROBLEM FOR THE HIGHER ORDER COMPOSITE TYPE EQUATIONS WITH DISCONTINUOUS COEFFICIENTSГригорьеваА. И.GrigorievaA. I.

Григорьева Александра Ивановна,Северо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова, Институт математики и информатики,кафедра высшей математики, ул. Кулаковского, 48, Якутск 677891;Академия наук Республики Саха (Якутия), пр. Ленина, 33, Якутск 677891.

Aleksandra I. Grigorieva

Ammosov North-Eastern Federal University, Institute of Mathematics and Informatics,

48 Kulakovsky Street, Yakutsk 677000, Russia;

Academy of Sciences of the Republic of Sakha (Yakutia), 33 Lenin Avenue, Yakutsk 677000, Russia 

shadrina_ai@mail.ruСеверо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова, институт математики и информатики, кафедра высшей математики; Академия наук Республики Саха (Якутия)РоссияAmmosov North-Eastern Federal University, Institute of Mathematics and Informatics; Academy of Sciences of the Republic of Sakha (Yakutia)Russian Federation2021020420262841729Copyright © Григорьева А.И., 20262026Григорьева А.И.Grigorieva A.I.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://matmess.elpub.ru/jour/article/view/207

Изучается разрешимость задачи Дирихле для дифференциальных уравнений составного (соболевского) типа вида Dt[(−1)pDt2p+1u−h(x)uxx]+a(x)uxx+c(x,t)u = f(x,t) в области Q = {(x,t) : x ∈ (−1,0) ∪ (0,1), t ∈ (0,T), 0 < T < +∞} (p ≥ 1 целое, Dtk = ∂k/∂tk , Dt = ∂/∂t). Особенностью рассматриваемых уравнений является то, что коэффициенты h(x) и a(x) в нем могут иметь разрыв первого рода при переходе через точку x = 0. Помимо обычных граничных условий Дирихле в изучаемой задаче задаются также условия сопряжения на линии x = 0.Доказываются теоремы существования и единственности регулярных (имеющих все обобщенные по С. Л. Соболеву производные, входящие в уравнение) решений.

We study the Dirichlet problem for the composite type differential equations Dt[(−1)pDt2p+1u−h(x)uxx] +a(x)uxx +c(x,t)u = f(x,t) in the domain Q = {(x,t) : x ∈ (−1,0) ∪ (0,1), t ∈ (0,T), 0 < T < +∞}, where p ≥1 is an integer, Dtk = ∂k/∂tk , and Dt = ∂/∂t . The feature of such quations is that the coefficients h(x) and a(x) can have a discontinuity of the first kind when passing through the point x = 0. In addition to the usual Dirichlet boundary conditions, the problem under study also specifies the conjugation conditions on the line x = 0. Existence and uniqueness theorems are proved for regular solutions (those having all generalized Sobolev derivatives).

дифференциальные уравнения составного типазадача Дирихлеразрывные коэффициентырегулярные решениясуществованиеединственность.differential composite type equationsthe Dirichlet problemblow-up coef f icientregular solutionexistenceuniqueness.Результаты получены в рамках выполнения государственного задания Минобрнауки России (НИР No. FSRG–2020–0006).ReferencesОлейник О. А. Краевые задачи для линейных уравнений эллиптического и параболического типов с разрывными коэффициентами // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1961. Т. 25. С. 3–20.Олейник О. А. Краевые задачи для линейных уравнений эллиптического и параболического типов с разрывными коэффициентами // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1961. Т. 25. С. 3–20.Ильин В. А. О разрешимости задач Дирихле и Неймана для линейного эллиптического оператора с разрывными коэффициентами // Докл. АН СССР. 1961. Т. 137, № 1. С. 28–30.Ильин В. А. О разрешимости задач Дирихле и Неймана для линейного эллиптического оператора с разрывными коэффициентами // Докл. АН СССР. 1961. Т. 137, № 1. С. 28–30.Ильин В. А. Метод Фурье для гиперболического уравнения с разрывными коэффициентами // Докл. АН СССР. 1962. Т. 142, № 1. С. 21–24.Ильин В. А. Метод Фурье для гиперболического уравнения с разрывными коэффициентами // Докл. АН СССР. 1962. Т. 142, № 1. С. 21–24.Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.Ильин В. А., Шишмарев И. А. Метод потенциалов для задач Дирихле и Неймана в случае уравнения с разрывными коэффициентами // Сиб. мат. журн. 1961. Т. 2, № 1. С. 46–58. 6. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа. М.: Изд-во АН СССР, 1959.Ильин В. А., Шишмарев И. А. Метод потенциалов для задач Дирихле и Неймана в случае уравнения с разрывными коэффициентами // Сиб. мат. журн. 1961. Т. 2, № 1. С. 46–58. 6. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа. М.: Изд-во АН СССР, 1959.Ладыженская О. А., Ступялис Л. Об уравнениях смешанного типа // Вестн. Ленингр.Ладыженская О. А., Ступялис Л. Об уравнениях смешанного типа // Вестн. Ленингр.ун-та. 1967. № 18. С. 38–46.ун-та. 1967. № 18. С. 38–46.Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа. М.: Наука, 1970.Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа. М.: Наука, 1970.Ладыженская О. А., Ступялис Л. Краевые задачи для уравнений смешанного типа // Тр. МИАН СССР. 1971. Т. 116. С. 101–136.Ладыженская О. А., Ступялис Л. Краевые задачи для уравнений смешанного типа // Тр. МИАН СССР. 1971. Т. 116. С. 101–136.Ступялис Л. Краевые задачи для эллиптико-гиперболических уравнений // Тр. МИАН СССР. 1973. Т. 125. С. 211–229.Ступялис Л. Краевые задачи для эллиптико-гиперболических уравнений // Тр. МИАН СССР. 1973. Т. 125. С. 211–229.Джураев Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: Фан, 1986.Джураев Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: Фан, 1986.Моисеев Е. И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988.Моисеев Е. И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988.Рогожников А. М. Исследование смешанной задачи, описывающей процесс колебаний стержня, состоящего из нескольких участков, при условии совпадения времени прохождения волн по каждому из этих участков // Докл. АН. 2012. Т. 441, № 4. С. 449–451.Рогожников А. М. Исследование смешанной задачи, описывающей процесс колебаний стержня, состоящего из нескольких участков, при условии совпадения времени прохождения волн по каждому из этих участков // Докл. АН. 2012. Т. 441, № 4. С. 449–451.Кулешов А. А. Смешанные задачи для уравнения продольных колебаний неоднородного стержня со свободным либо закрепленным правым концом, состоящего из двух участков разной плотности и упругости // Докл. АН. 2012. Т. 442, № 4. С. 451–454.Кулешов А. А. Смешанные задачи для уравнения продольных колебаний неоднородного стержня со свободным либо закрепленным правым концом, состоящего из двух участков разной плотности и упругости // Докл. АН. 2012. Т. 442, № 4. С. 451–454.Рогожников А. М. Исследование смешанной задачи, описывающей процесс колебаний стержня, состоящего из нескольких участков с произвольными длинами // Докл. АН. 2012. Т. 444, № 5. С. 488–491.Рогожников А. М. Исследование смешанной задачи, описывающей процесс колебаний стержня, состоящего из нескольких участков с произвольными длинами // Докл. АН. 2012. Т. 444, № 5. С. 488–491.Смирнов И. Н. О колебаниях, описываемых телеграфным уравнением в случае системы, состоящей из нескольких участков разной плотности и упругости // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 49, № 5. С. 643–648.Смирнов И. Н. О колебаниях, описываемых телеграфным уравнением в случае системы, состоящей из нескольких участков разной плотности и упругости // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 49, № 5. С. 643–648.Potapova S. V. Boundary value problems for pseudoparabolic equations with a variable time direction. TWMS // J. Inequal. Pure Appl. Math. 2012. V. 3, N 1. P. 73.Potapova S. V. Boundary value problems for pseudoparabolic equations with a variable time direction. TWMS // J. Inequal. Pure Appl. Math. 2012. V. 3, N 1. P. 73.Кожанов А. И., Потапова С. В. Задача Дирихле для одного класса уравнений составного типа с разрывным коэффициентом при старшей производной // Дальневост. мат. журн. 2014. Т. 14, № 1. С. 48–65.Кожанов А. И., Потапова С. В. Задача Дирихле для одного класса уравнений составного типа с разрывным коэффициентом при старшей производной // Дальневост. мат. журн. 2014. Т. 14, № 1. С. 48–65.Кожанов А. И., Шарин Е. Ф. Задача сопряжения для некоторых неклассических дифференциальных уравнений высокого порядка. II // Мат. заметки СВФУ. 2014. Т. 21, № 1. С. 18–28.Кожанов А. И., Шарин Е. Ф. Задача сопряжения для некоторых неклассических дифференциальных уравнений высокого порядка. II // Мат. заметки СВФУ. 2014. Т. 21, № 1. С. 18–28.Кожанов А. И., Потапова С. В. Задача сопряжения для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками, со знакопостоянной функцией при старшей производной // Сиб. журн. чистой и прикл. математики. 2015. Т. 15, № 2. С. 51–59.Кожанов А. И., Потапова С. В. Задача сопряжения для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками, со знакопостоянной функцией при старшей производной // Сиб. журн. чистой и прикл. математики. 2015. Т. 15, № 2. С. 51–59.Кожанов А. И., Потапова С. В. Задача сопряжения для дифференциальных уравнений нечетного порядка с двумя временными переменными и с меняющимся направлением эволюции // Докл. АН. 2017. Т. 474, № 6. С. 661–664.Кожанов А. И., Потапова С. В. Задача сопряжения для дифференциальных уравнений нечетного порядка с двумя временными переменными и с меняющимся направлением эволюции // Докл. АН. 2017. Т. 474, № 6. С. 661–664.Кожанов А. И. Задача сопряжения для одного класса уравнений составного типа перменного направления // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: Ин-т математики СО РАН, 2002. С. 96–109.Кожанов А. И. Задача сопряжения для одного класса уравнений составного типа перменного направления // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: Ин-т математики СО РАН, 2002. С. 96–109.Шубин В. В. Краевые задачи для уравнений третьего порядка с разрывным коэффициентом // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. 2012. Т. 12, № 1. С. 126–138.Шубин В. В. Краевые задачи для уравнений третьего порядка с разрывным коэффициентом // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. 2012. Т. 12, № 1. С. 126–138.Кожанов А. И., Шарин Е. Ф. Задача сопряжения для некоторых неклассических дифференциальных уравнений высокого порядка // Укр. мат. вiсник. 2014. Т. 11, № 2. С. 181–202.Кожанов А. И., Шарин Е. Ф. Задача сопряжения для некоторых неклассических дифференциальных уравнений высокого порядка // Укр. мат. вiсник. 2014. Т. 11, № 2. С. 181–202.Антипин В. И. Разрешимость краевой задачи для уравнения третьего порядка с меняющимся направлением времени // Мат. заметки ЯГУ. 2011. Т. 18, № 1. С. 8–15.Антипин В. И. Разрешимость краевой задачи для уравнения третьего порядка с меняющимся направлением времени // Мат. заметки ЯГУ. 2011. Т. 18, № 1. С. 8–15.Pyatkov S. G., Popov S. V., Antipin V. I. On solvability of boundary value problem for kinetic operator-differential equations // Integral Equ. Operator Theory. 2014. V. 80, N 4. P. 557–580.Pyatkov S. G., Popov S. V., Antipin V. I. On solvability of boundary value problem for kinetic operator-differential equations // Integral Equ. Operator Theory. 2014. V. 80, N 4. P. 557–580.Демиденко Г. В., Успенский С. В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной. Новосибирск: Науч. кн., 1998.Демиденко Г. В., Успенский С. В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной. Новосибирск: Науч. кн., 1998.Kozhanov A. I. Composite type equations and inverse problems. Utrecht: VSP, 1999.Kozhanov A. I. Composite type equations and inverse problems. Utrecht: VSP, 1999.Sviridyuk G. A., Fedorov V. E. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroup of operators. Utrecht: VSP, 2003.Sviridyuk G. A., Fedorov V. E. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroup of operators. Utrecht: VSP, 2003.Hayashi N., Kaikina E. I., Naumkin P. I., Shishmarev I. A. Asymptotic for dissipative nonlinear equations. Berlin: Springer-Verl., 2006.Hayashi N., Kaikina E. I., Naumkin P. I., Shishmarev I. A. Asymptotic for dissipative nonlinear equations. Berlin: Springer-Verl., 2006.Свешников А. Г., Альшин А. Б., Корпусов М. О., Плетнер Ю. Д. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа. М.: Физматлит, 2007.Свешников А. Г., Альшин А. Б., Корпусов М. О., Плетнер Ю. Д. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа. М.: Физматлит, 2007.Корпусов М. О. Разрушение в неклассических нелокальных уравнениях. М.: Либроком,Корпусов М. О. Разрушение в неклассических нелокальных уравнениях. М.: Либроком,Кожанов А. И. Псевдогиперболические и гиперболические уравнения с растущими младшими членами // Вестн. Челяб. гос. ун-та. 1999. Т. 3, № 2. С. 31–47.Кожанов А. И. Псевдогиперболические и гиперболические уравнения с растущими младшими членами // Вестн. Челяб. гос. ун-та. 1999. Т. 3, № 2. С. 31–47.Потапова С. В. О разрешимости краевых задач для псевдогиперболических уравнений переменного направления времени // Мат. заметки ЯГУ. 2011. Т. 18, № 1. С.108–124.Потапова С. В. О разрешимости краевых задач для псевдогиперболических уравнений переменного направления времени // Мат. заметки ЯГУ. 2011. Т. 18, № 1. С.108–124.Кожанов А. И., Лукина Г. А. Псевдопараболические и псевдогиперболические уравнения в нецилиндрических по временной переменной областях // Мат. заметки СВФУ. 2019. Т. 26, № 3. С. 31–47.Кожанов А. И., Лукина Г. А. Псевдопараболические и псевдогиперболические уравнения в нецилиндрических по временной переменной областях // Мат. заметки СВФУ. 2019. Т. 26, № 3. С. 31–47.Треногин В. A. Функциональный анализ. М.: Физматлит, 2007.Треногин В. A. Функциональный анализ. М.: Физматлит, 2007.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.