Некоторые классы вырожденных квазилинейных уравнений с производными Римана — Лиувилля и секториальной парой операторов

Рассматриваются вопросы существования и единственности классического решения задачи типа Шоуолтера — Сидорова для некоторых классов квазилинейных уравнений в банаховых пространствах с дробными производными Римана — Лиувилля. Исследованы уравнения с вырожденным оператором при старшей производной Римана — Лиувилля в случае секториальности пары операторов из линейной части уравнения, т. е. когда этой парой порождается аналитическое в секторе вырожденное разрешающее семейство операторов, и в предположении, что нелинейный оператор не зависит от элементов подпространства вырождения. Доказаны теоремы о локальной и глобальной однозначной разрешимости задачи типа Шоуолтера — Сидорова для исследуемого уравнения. Полученные абстрактные результаты использованы при исследовании начально-краевых задач для одного класса систем дифференциальных уравнений в частных производных дробного порядка по времени.

1. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987.

2. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003.

3. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and applications of fractional differential equations. Amsterdam; Boston; Heidelberg: Elsevier Sci. Publ., 2006.

4. Bajlekova E. G. Fractional evolution equations in Banach spaces. PhD thes. Eindhoven: Eindhoven Univ. Technol., 2001.

5. Федоров В. Е., Авилович А. С. Задача типа Коши для вырожденного уравнения с производной Римана — Лиувилля в секториальном случае // Сиб. мат. журн. 2019. Т. 60, № 2. С. 461–477.

6. Авилович А. С., Гордиевских Д. М., Федоров В. Е. Вопросы однозначной разрешимости и приближенной управляемости для линейных уравнений дробного порядка с г¨ельдеровой правой частью // Челяб. физ.-мат. журн. 2020. Т. 5, вып. 1. C. 5–21.

7. Fedorov V. E., Nagumanova A. V., Avilovich A. S. A class of inverse problems for evolution equations with the Riemann–Liouville derivative in the sectorial case // Math. Model. Appl. Sci. 2020. V. 44, N 15. P. 11961–11969.

8. Федоров В. Е., Туров М. М. Дефект задачи типа Коши для линейных уравнений с несколькими производными Римана — Лиувилля // Сиб. мат. журн. 2021. Т. 62, № 5. C. 1143–1162.

9. Псху А. В. Начальная задача для линейного обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка // Мат. сб. 2011. Т. 202, № 4. C. 111–122.

10. Fedorov V. E., Avilovich A. S., Borel L. V. Initial problems for semilinear degenerate evolution equations of fractional order in the sectorial case // Nonlinear Analysis and Boundary Value Problems, NABVP 2018 (Santiago de Compostela, Spain, Sept. 4–7, 2018) (eds. I. Area, A. Cabada, J. A. Cid, et al.). 2019. P. 41–62 (Springer Proc. Math. Stat.; V. 292).

11. Fedorov V. E., Avilovich A. S. Semilinear fractional-order evolution equations of Sobolev type in the sectorial case // Complex Variables Elliptic Equ. 2021. V. 66, N 6–7. P. 1108–1121.

12. Федоров В. Е., Авилович А. С. Задача типа Коши для некоторых квазилинейных уравнений с производными Римана — Лиувилля и секториальным оператором // Прикл. математика и физика. 2024. Т. 56, № 4. C. 261—272.

13. Avilovich A. S., Debbouche A., Fedorov V. E. Quasilinear equations with Riemann–Liouville derivatives in H¨older type spaces // Chelyab. Phys. Math. J. 2025. V. 10, N. 1. P. 70–86.

14. Федоров В. Е., Романова Е. А., Дебуш А. Аналитические в секторе разрешающие семейства операторов вырожденных эволюционных уравнений дробного порядка // Сиб. журн. чистой и прикл. математики. 2016. Т. 16, № 2. С. 93–107.

15. Плотников П. И., Клепачева А. В. Уравнения фазового поля и градиентные потоки маргинальных функций // Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42, № 3. С. 651–669.

16. Плотников П. И., Старовойтов В. Н. Задача Стефана с поверхностным натяжением как предел модели фазового поля // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29, № 3. С. 461–471.

17. Романова E. A., Федоров В. E. Разрешающие операторы линейных вырожденных эволюционных уравнений с производной Капуто. Секториальный случай // Мат. заметки СВФУ. 2016. Т. 23, № 4. С. 58–72.

18. Хэссард Б., Казаринов Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. М.: Мир, 1985.