СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ С ОБОБЩЕННЫМ ЯДРОМ КОШИ НА КУСОЧНО–ГЛАДКОМ КОНТУРЕ

Рассматриваются сингулярные интегральные операторы двух типов на кусочно-гладком контуре в весовых лебеговых пространствах с обобщенными ядрами Коши, связанными с параметриксом эллиптических систем первого порядка на плоскости. Операторы первого типа линейны над полем комплексных чисел и представляют собой обычную комбинацию обобщенного сингулярного оператора Коши и операторов умножения на кусочно-непрерывные матрицы-функции. Операторы второго типа действуют в пространстве вещественных вектор-функций и тем самым линейны над полем R. Они возникают при прямой редукции эллиптических краевых задач с помощью интегральных представлений. Получен критерий фредгольмовости этих операторов, и указана формула их индекса. 

1. Хведелидзе Б. В. Метод интегралов типа Коши для разрывных краевых задач голоморфных функций одной комплексной переменной. Современные проблемы математики. М.: ВИНИТИ, 1975. Т. 7. С. 5–162. (Итоги науки и техники).

2. Mikhllin S. G., Prossdorf S. Singular integral operators. Berlin: Akademie-Verl.; SpringerVerl., 1986.

3. Дудучава Р. В. Интегральные уравнения свертки с разрывными предсимволами, сингулярные интегральные уравнения с неподвижными особенностями и их приложения к задачам механики // Тр. Тбил. мат. ин-та АН ГрССР. 1979. Т. 60. С. 1–135.

4. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

5. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. 3-е изд. М.: Наука, 1977.

6. Привалов И. И. Граничные свойства аналитических функций. 2-е изд. М.: Наука, 1967.

7. Данилюк И. И. Нерегулярные краевые задачи. М.: Наука, 1975

8. Гохберг И. Ц., Крупник Н. И. Введение в теорию одномерных сингулярных уравнений. Кишинев: Штиинца, 1973.

9. Симоненко И. Б. Новый общий метод исследования линейных операторных уравнений типа сингулярных интегральных уравнений // I: Изв. АН СССР. Сер. мат. 1965. Т. 29, № 3. С. 567–586; II: Изв. АН СССР Сер. мат. 1965. Т. 29, № 4. С. 757–782.

10. Солдатов А. П. Одномеpные сингуляpные опеpатоpы и кpаевые задачи теоpии функций. М.: Высшая школа, 1991.

11. Векуа Н. П. Системы сингулярных интегральных уравнений. М.: Наука, 1970.

12. Солдатов А. П. Сингулярные интегральные операторы и эллиптические краевые задачи. I // Современная математика. Фундаментальные направления. 2017. Т. 63, № 1. С. 1–189.

13. Солдатов А. П., Чернова О. В. Задача Римана — Гильберта для эллиптических систем первого порядка на плоскости с постоянными старшими коэффициентами // Итоги науки и техники. Сер. Современ. математика и ее прил. Темат. обзоры. 2018. Т. 149. С. 95–102.

14. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988.