matmessМатематические заметки СВФУMathematical notes of NEFU2411-93262587-876XСеверо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосова10.25587/2411-9326-2025-3-61-81matmess-95Research ArticleМАТЕМАТИКАИсследование разрешимости задачи Стефана для случая сложной структуры веществаInvestigation of solvability of the Stefan problem for the case of complex structure of matterПодгаевА. Г.PodgaevA. G.

Подгаев Александр Григорьевич

ул. Серышева, 60, Хабаровск 680038

ул. Тихоокеанская, 136, Хабаровск 680035

Aleksandr G. Podgaev

60 Seryshev Street, Khabarovsk 680038

136 Tikhookeanskaya Street, Khabarovsk 680035

000210@togudv.ruКулешТ. Д.KuleshT. D.

Кулеш Тимофей Дмитриевич

ул. Тихоокеанская, 136, Хабаровск 680035

Timofey D. Kulesh

136 Tikhookeanskaya Street, Khabarovsk 680035

2015302323@togudv.ruХабаровское отделение Института прикладной математики ДВО РАН; Тихоокеанский государственный университетРоссияKhabarovsk branch of the Institute of Applied Mathematics, Far Eastern Branch of the Russian Academy of Sciences; Pacific State UniversityRussian FederationТихоокеанский государственный университетРоссияPacific State UniversityRussian Federation2025300920253236181Copyright © Подгаев А.Г., Кулеш Т.Д., 20252025Подгаев А.Г., Кулеш Т.Д.Podgaev A.G., Kulesh T.D.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://matmess.elpub.ru/jour/article/view/95

Методами компактности для функций из шкалы банаховых пространств доказана разрешимость задачи с нелинейной скрытой теплотой плавления вещества в условиях Стефана. Предварительно исследуется начальная краевая задача в нецилиндрической области с заданной криволинейной границей класса W1/2 . Для нее получены равномерные оценки, необходимые для использования в основной задаче. Затем рассматривается задача, для которой в условии на неизвестной границе коэффициент скрытой удельной теплоты плавления является функцией размера зоны протаивания s(t). Эта техника может быть применена к более общим уравнениям. Изучаемая задача описывает процессы перехода вещества из одного состояния в другое. В результате установлена регулярная глобальная по времени разрешимость однофазной задачи Стефана для нелинейного параболического уравнения. Начальные данные принадлежат только классу W1/2 , а граница фазового перехода, определяемая вместе с решением, принадлежит пространству W1/4.

Using compactness methods for functions from the scale of Banach spaces, we prove the solvability of the problem with nonlinear latent heat of matter fusion in Stefan’s condition. An initial boundary value problem in a non-cylindrical domain with a given curved boundary of class W1/2 is preliminarily investigated, for which we obtain uniform estimates necessary for the main problem. Then we consider a problem in which the coefficient of the latent specific heat of fusion in the condition on the unknown boundary is a function of the size of the thawing zone s(t). This technique can also be applied to more general equations. The studied problem describes the processes of transition of matter from one state to another. As a result, the regular global in time solvability of the one-phase Stefan problem for the nonlinear parabolic equation is established. The initial data belong only to the class W1/2, while the phase transition boundary defined together with the solution belongs to W1/4.

задача Стефанаотносительная компактностьнецилиндрическая областьнеизвестная граница.Stefan problemrelative compactnessnon-cylindrical domainunknown boundary.ReferencesБородин М. A. Задача Стефана // Укр. мат. вiсник. 2011. Т. 8, №1. С. 17–54.Borodin A. M., “Stefan’s problem [in Russian],” Ukr. Mat. Vestn., 8, No. 1, 17–54 (2011).Мейрманов A. M., Гальцева О. А., Сельдемиров В. Е. О существовании обобщенного решения в целом по времени одной задачи со свободной границей // Мат. заметки. 2020. Т. 107, №2. С. 229–240.Meyrmanov A. M., Galtseva O. A., and Seldemirov V. E., “On the existence of a generalized time-based solution to a single problem with a free boundary [in Russian],” Mat. Zametki, 107, No. 2, 229–240 (2020).Bollati J., Tarzia A. D. One-phase Stefan problem with a latent heat depending on the position of the free boundary and its rate of change // Electron. J. Differ. Equ. . 2018. V. 2018, N 10. P. 1–12.Bollati J. and Tarzia A. D., “One-phase Stefan problem with a latent heat depending on the position of the free boundary and its rate of change,” Electron. J. Differ. Equ., 2018, No. 10, 1–12 (2018).Белых В. Н. Корректность одной нестационарной осесимметричной задачи гидродинамики со свободной поверхностью // Сиб. мат. журн. . 2017. Т. 58, №4. С. 728–744.Belykh V. N., “The correctness of a single unsteady axisymmetric hydrodynamic problem with a free surface [in Russian],” Sib. Mat. J., 58, No. 4, 728–744 (2017).Тахиров Ж. О., Тураев Р. Н. Нелокальная задача Стефана для квазилинейного параболического уравнения // Вестн. Сам. гос. тех. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2012. Т. 28, №3. С. 8–16.Takhirov Zh. O. and Turaev R. N., “The non-local Stefan problem for a quasi-linear parabolic equation [in Russian],” Vestn. Sam. Gos.Tekh. Univ., 28, No. 3, 8–16 (2012).Bollati J., Tarzia D. A. Explicit solution for Stefan problem with latent heat depending on the position and a convective boundary condition at the fixed face using Kummer functions // arxiv.org/abs/1610.09338 [math.AP]. 2016.Bollati J. and Tarzia D. A., “Explicit solution for Stefan problem with latent heat depending on the position and a convective boundary condition at the fixed face using Kummer functions,” arXiv:1610.09338 [math.AP] (2016).Ли Ф., Лу Д. Распространение решений для уравнения диффузии реакции со свободными границами в периодической среде // Электрон. журн. Дифференц. уравнения. 2018. №185. С. 1–12.Lee F. and Lu D., “Propagation of solutions for the diffusion equation of a free-boundary reaction in a periodic medium,” Electron. J. Differ. Equ., No. 185, 1–12 (2018).Tarzia D. A. A bibliography on moving-free boundary problems for the heat-diffusion equation. The Stefan and related problems // MAT. Serie A. 2000. N 2. P. 1–297.Tarzia D. A., “A bibliography on moving-free boundary problems for the heat-diffusion equation. The Stefan and related problems,” MAT. Serie A, No. 2, 1–297 (2000).Подгаев А. Г., Кулеш Т. Д. Теоремы компактности для задач с неизвестной границей //Дальневост. мат. журн.. 2021. Т. 21, №1. С. 105–112.Podgaev A. G. and Kulesh T. D., “Compactness theorems for problems with unknown boundary [in Russian],” Dalnevost. Mat. Zh., 21, No. 1, 105–112 (2021).Подгаев А. Г. Об относительной компактности множества абстрактных функций из шкалы банаховых пространств // Сиб. мат. журн. . 1993. Т. 34, №2. С. 135–137.Podgaev A. G., “On the relative compactness of a set of abstract functions from the scale of Banach spaces [in Russian],” Sib. Mat. J., 34, No. 2, 135–137 (1993).Подгаев А. Г. Разрешимость осесимметричной задачи для нелинейного параболического уравнения в областях с нецилиндрической или неизвестной границей. I // Челяб. физ.-мат. журн. . 2020. Т. 5, №1. С. 44–55.Podgaev A. G., “Solvability of an axisymmetric problem for a nonlinear parabolic equation in regions with a non-cylindrical or unknown boundary. I [in Russian],” Chelyab. Fiz.-Mat. Zh., 5, No. 1, 44–55 (2020).Подгаев А. Г., Син A. З. Об одном обобщении леммы Вишика — Дубинского и неравенства Гронуолла // Уч. заметки ТОГУ. 2013. №4. С. 2113–2118.Podgaev A. G. and Sin A. Z., “A generalization of the Vishik–Dubinsky lemma and the Gronwall inequality [in Russian],” Uch. Zametki TOGU, No. 4, 2113–2118 (2013).Подгаев А. Г., Лисенков К. В. Разрешимость квазилинейного параболического уравнения в области с кусочно-монотонной границей // Дальневост. мат. журн. . 2013. Т. 13, №2. С. 250–272.Podgaev A. G. and Lisenkov K. V., “Solvability of a quasi-linear parabolic equation in a domain with a piecewise monotonic boundary [in Russian],” Dalnevost. Mat. Zh., 13, No. 2, 250–272 (2013).Подгаев А. Г., Прудников В. Я., Кулеш Т. Д. Глобальная разрешимость трехмерной осесимметричной задачи Стефана для квазилинейного уравнения // Дальневост. мат. журн. . 2022. Т. 22, №1. С. 61–75.Podgaev A. G., Prudnikov V. Ya., and Kulesh T. D., “Global solvability of the three-dimensional axisymmetric Stefan problem for a quasi-linear equation [in Russian],” Dalnevost. Mat. Zh., 22, No. 1, 61–75 (2022).Podgaev A. G. On relative compactness set of abstract Function from scale of the Banach spaces // Functional Analysis, Approximation Theory and Numerical Analysis. Singapore: Word Sci. Publ. Co., 1994. P. 219–236.Podgaev A. G., “On relative compactness set of abstract function from scale of the Banach spaces,” in: Functional Analysis, Approximation Theory and Numerical Analysis, pp. 219–236, World Sci. Publ. Co, Singapore (1994).Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.Ladyzhenskaya O. A. and Uraltseva N. N., Linear and Quasilinear Elliptic Type Equations [in Russian], Nauka, Moscow (1973).Meirmanov A. M. The Stefan problem. Berlin: Walter de Gruyter, 1992.Meirmanov A. M., The Stefan Problem, Walter de Gruyter, Berlin (1992).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.