matmessМатематические заметки СВФУMathematical notes of NEFU2411-93262587-876XСеверо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосова10.25587/SVFU.2023.56.84.002matmess-51Research ArticleМАТЕМАТИКАО первой смешанной задаче для вырождающихся параболических уравнений в звездных областях с ляпуновской границей в банаховых пространствахOn the first mixed problem for degenerate parabolic equations in stellar domains with Lyapunov boundary in Banach spacesПетрушкоИ. М.PetrushkoI. M.

Петрушко Игорь Мелетиевич

Красноказарменная, 14, Москва 111250

Igor M. Petrushko

14 Kracnokazarmennaya, 111250 Moscow

КапицынаТ. В.KapitsynaT. V.

Капицына Татьяна Владимировна

Красноказарменная, 14, Москва 111250

Tatyana V. Kapitsyna

14 Kracnokazarmennaya, 111250 Moscow

kapitsynatv@mpei.ruПетрушкоМ. И.PetrushkoM. I.

Петрушко Максим Игоревич

Красноказарменная, 14, Москва 111250

Maksim I. Petrushko

14 Kracnokazarmennaya, 111250 Moscow

petrushkomi@mpei.ruНациональный исследовательский университет «МЭИ»РоссияNational Research University "MPEI"Russian Federation2023300320233012139Copyright © Петрушко И.М., Капицына Т.В., Петрушко М.И., 20232023Петрушко И.М., Капицына Т.В., Петрушко М.И.Petrushko I.M., Kapitsyna T.V., Petrushko M.I.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://matmess.elpub.ru/jour/article/view/51

Статья посвящена исследованию поведения решения параболического уравнения второго порядка с вырождением Трикоми на боковой границе цилиндрической области QT , где Q — звездная область, граница которой ∂Q — (n − 1)- мерная замкнутая поверхность без края класса C1+λ, 0 < λ < 1. Рассматривается вопрос об однозначной разрешимости первой смешанной задачи для уравнения, когда граничная и начальная функции принадлежат пространствам типа Lp, p > 1. Данная тематика восходит к классическим работам Литтлвуда — Пэли и Ф. Рисса, посвященных граничным значениям аналитических функций. Все направления принятия граничных значений для равномерно эллиптических уравнений оказываются равноправными, и решение обладает свойством, аналогичным свойству непрерывности по отношению к набору переменных. В случае вырождения уравнения на границе области, когда направления не равны, ситуация усложняется. В этом случае постановка первой краевой задачи определяется типом вырождения.

The article is devoted to the study of behavior of the solution to a second-order parabolic equation with Tricomi degeneration on the lateral boundary of a cylindrical domain QT , where Q is a stellar region whose boundary ∂Q is an (n−1)-dimensional closed surface without boundary of class C1+λ, 0 < λ < 1. We study the question of unique solvability of the first mixed problem for the equation with the boundary and initial functions belonging to spaces of type Lp, p > 1. This topic goes back to the classical works of Littlewood–Paley and F. Riesz devoted to the boundary values of analytic functions. All directions of taking boundary values for uniformly elliptic equations turn out to be equal, and the solution has a property similar to the continuity with respect to a set of variables. In the case of degeneracy of the equation on the boundary of the domain when the directions are not equal, the situation becomes more complicated. In this case, the statement of the first boundary value problem is determined by the type of degeneracy.

вырождающиеся параболические уравнениявырождение типа Трикомифункциональные пространствапервая смешанная задачаразрешимостьграничные и начальные значения решенийаприорные оценкиdegenerate parabolic equationsdegeneration of Tricomi typefunction spacesfirst mixed problemsolvabilityboundary and initial values of solutionsa priori estimatesReferencesRiesz F. ¨Uber die Randwerteeiner analytischen Funktion // Math. Z. 1923. Bd 18. S. 87–95.Riesz F., “ ¨Uber die Randwerteeiner analytischen Funktion,” Math. Z., 18, 87–95 (1923).Littlewood J. E., Paley R. E. A. C. Theorem on Fourier series and power series // J. Lond. Math. Soc. 1931. V. 6. P. 230–233.Littlewood J. E. and Paley R. E. A. C., “Theorem on Fourier series and power series,” J. Lond. Math. Soc., 6, 230–233 (1931).Littlewood J. E., Paley R. E. A. C. Theorem on Fourier series and power II // Proc. Lond. Math. Soc. Ser. 2. 1936. V. 42. P. 52–89.Littlewood J. E. and Paley R. E. A. C., “Theorem on Fourier series and power. II,” Proc. Lond. Math. Soc., Ser. 2, 42, 52–89 (1936).Littlewood J. E., Paley R. E. A. C. Theorem on Fourier series and power II // Proc. Lond. Math. Soc. Ser. 2. 1937. V. 43. P. 105–126.Littlewood J. E. and Paley R. E. A. C., “Theorem on Fourier series and power. II,” Proc. Lond. Math. Soc., Ser. 2, 43, 105–126 (1937).Михайлов В. П. О граничных свойствах решений эллиптических уравнений // Докл. АН СССР. 1976. Т. 226. С. 1264–1266.Mikhailov V. P., “On boundary properties of solution of elliptic equations,” Sov. Math. Dokl., 17, 274–277 (1976).Михайлов В. П. О граничном значении решений эллиптических уравнений в областях с гладкой границей // Мат. сб. 1976. Т. 30, № 2. C. 143–166.Mikhailov V. P., “On the boundary value of solutions of elliptic equations in domains with a smooth boundary,” Math. USSR, Sb., 30, No. 2, 143–166 (1976).Гущин А. К., Михайлов В. П. О граничных значениях в Lp, p > 1, решений эллиптических уравнений // Мат. сб. 1979. Т. 108, № 1. C. 3–21.Gushchin A. K. and Mikhailov V. P., “On boundary values in Lp, p > 1, of solutions of elliptic equations,” Math. USSR, Sb., 36, No. 1, 1–19 (1980).Гущин А. К., Михайлов В. П. О существовании граничных значений решений эллиптического уравнения // Мат. сб. 1991. Т. 182, № 6. C. 787–810.Gushchin A. K. and Mikhailov V. P., “On the existence of boundary values of solutions of elliptic equation,” Math. USSR, Sb., 73, No. 1, 171–194 (1992).Петрушко И. M. О граничных и начальных условиях в Lp, p > 1, решений параболических уравнений // Мат. сб. 1984. Т. 125, № 4. C. 489–521.Petrushko I. M., “On boundary and initial conditions in Lp, p > 1, of solutions of parabolic equations,” Math. USSR, Sb., 53, No. 2, 489–522 (1986).Петрушко И. М. О граничных значениях в Lp, p > 1, решений эллиптических уравнений в областях с ляпуновской границей // Мат. сб. 1983. Т. 120, № 4. C. 569–588.Petrushko I. M., “On the boundary value in Lp, p > 1, of solutions of elliptic equations in domains with Lyapunov boundary,” Math. USSR, Sb., 48, No. 2, 565–585 (1984).Гущин А. К. О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка // Мат. cб. 1988. Т. 137, № 1. C. 19–64.Gushchin A. K., “On the Dirichlet problem for a second-order elliptic equation,” Math. USSR, Sb., 65, No. 1, 19–66 (1990).Гущин А. К. О внутренней гладкости решений эллиптического уравнения второго порядка // Сиб. мат. журн. 2005. Т. 46, № 4. C. 826–840.Gushchin A. K., “On the interior smoothness of solutions to second-order elliptic equation,” Sib. Math. J., 46, 826–840 (2005).Гущин А. К. Некоторое усиление свойства внутренней непрерывности по Гeльдеру решений задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка // Теор. мат. физика. 2008. Т. 157, № 3. C. 345–363.Gushchin A. K., “A strengthening of the interior H¨older continuity property for solutions for Dirichlet problem for a second-order elliptic equation,” Theor. Math. Phys., 157, No. 3, 1655–1670 (2008).Гущин A. K. О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с граничной функцией из Lp // Мат. сб. 2012. Т. 203, № 1. C. 1–27.Gushchin A. K., “The Dirichlet problem for a second-order elliptic equation with an Lp boundary function,” Sb. Math., 203, No. 1, 1–27 (2012).Гущин A. K. Критерий существования граничных значений в Lp решений эллиптического уравнения // Комплексный анализ, математическая физика и приложения. Тр. МИАН. 2018. Т. 301. C. 53–73.Gushchin A. K., “A criterion for existence of Lp boundary value of solutions to an elliptic equation,” Proc. Steklov Inst. Math., 301, 44–64 (2018).Думанян В. Ж. Разрешимость задачи Дирихле для общего эллиптического уравнения второго порядка // Мат. сб. 2011. Т. 202, № 7. C. 1001–1020.Dumanyan V. Zh., “Solvability of the Dirichlet problem for a general second-order elliptic equation,” Sb. Math., 202, No. 7, 1001–1020 (2011).Tricomi F. G. Ancora sull’equazione yuxx +uyy = 0 // Rend. Acc. Lincei, Ser. VI. 1927. V. 6.Tricomi F. G., “Ancora sull’equazione yuxx + uyy = 0,” Rend. Acc. Lincei, Ser. VI, 6 (1927).Келдыш М. В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области // Докл. АН СССР. Т. 77, № 2. C. 181–183.Keldysh M. V., “Same cases of the degeneracy of equations of elliptic type at the boundary of a domain,” Dokl. Akad. Nauk SSSR, 77, No. 2, 181–183 (1951).Фикера Г. К единой теории краевых задач для эллиптико-параболических уравнений второго порядка // Математика. 1963. Т. 7, № 6. C. 99–122.Fichera G., “On a unified theory of boundary value problems for elliptic-parabolic equations of second order,” Magyar Tud. Akad., Mat. Fiz. Tud. Oszt. K¨o zl., 13, 375–393 (1963).Олейник О. А., Радкевич Е. В. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой // Итоги науки. Математический анализ. М.: ВИНИТИ, 1971. С. 7–252.Oleinik O. A. and Radkevich E. V., “Second order equations with nonnegative characteristic form,” in: Itogi Nauki, Mat. Analiz, pp. 7–252, VINITI, Moscow (1971).Петрушко И. М. О граничных и начальных условиях в Lp, p > 1, решений параболических уравнений // Мат. сб. 1994. Т. 125, № 4. C. 489–521.Petrushko I. M., “Boundary and initial conditions in Lp, p > 1, for solutions of parabolic equations,” Math USSR, Sb., 125, No. 4, 489–521 (1984).Капицына Т. В. О существовании граничных и начальных значений для вырождающихся параболических уравнений в звездных областях // Мат. заметки СВФУ. 2018. Т. 25, № 4. C. 15–33.Kapitsyna T. V., “On the existence of boundary and initial values for the degenerating parabolic equations in the stellar domains,” Mat. Zamet. SVFU, 25, No. 4, 15–33 (2018).Капицына Т. В. О существовании граничных и начальных значений для вырождающихся параболических уравнений в звездных областях. Ч. II // Мат. заметки СВФУ. 2020. Т. 27, № 2. C. 21–38.Kapitsyna T. V., “On the existence of boundary and initial values for the degenerating parabolic equations in the stellar domains. Part II,” Mat. Zamet. SVFU, 27, No. 2, 21–38 (2020).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.