matmessМатематические заметки СВФУMathematical notes of NEFU2411-93262587-876XСеверо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосова10.25587/2411-9326-2024-2-46-58matmess-50Research ArticleМАТЕМАТИКАОб инвариантах Лапласа двумерных нелинейных уравнений в частных производных полиномиального типаOn Laplace invariants of two-dimensional non-linear partial differential equations of polynomial typeРахмелевичИ. В.RakhmelevichI. V.

Рахмелевич Игорь Владимирович

пр. Гагарина, 23, Нижний Новгород 603950

Igor V. Rakhmelevich

23 Gagarin Avenue, Nizhny Novgorod 603950

igor-kitpd@yandex.ruНижегородский государственный университет им. Н. И. ЛобачевскогоРоссияNizhny Novgorod State UniversityRussian Federation2024300620243124658Copyright © Рахмелевич И.В., 20242024Рахмелевич И.В.Rakhmelevich I.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://matmess.elpub.ru/jour/article/view/50

Исследуются двумерные нелинейные уравнения в частных производных второго порядка с переменными коэффициентами, левая часть которых представляет собой однородный полином второй степени по искомой функции и ее производным. Рассматривается множество линейных мультипликативных преобразований неизвестной функции, сохраняющих вид исходного уравнения. Аналогично линейным уравнениям инварианты Лапласа определяются как инварианты этого преобразования. Получены выражения для инвариантов Лапласа через коэффициенты уравнения и их первые производные. Для рассматриваемых уравнений найдены эквивалентные системы уравнений первого порядка, содержащие инварианты Лапласа. Показано, что если один из инвариантов Лапласа равен нулю, то соответствующая система сводится к одному уравнению первого порядка. Также в этом случае при выполнении некоторых дополнительных условий на коэффициенты может быть получено решение исходного уравнения в квадратурах. Исследования проведены для гиперболического уравнения со смешанной производной и для нелинейного уравнения второго порядка общего вида с однородным полиномом второй степени по искомой функции и ее производным. Для этих случаев получены выражения для инвариантов Лапласа и приведены соответствующие эквивалентные системы.

We study two-dimensional nonlinear partial differential equations of the second order with variable coefficients. The left-hand side of these equations is a homogeneous polynomial of the second degree on unknown function and its derivatives. We consider a set of linear multiplicative transformations of the unknown function which keep a form of initial equation. By analogy with linear equations, the Laplace invariants are determined as the invariants of this transformation. Expressions for the Laplace invariants are obtained through the coefficients of the equation and their first derivatives. For the equations under consideration, equivalent systems of first-order equations are found, containing the Laplace invariants. It is shown that if one of the Laplace invariants is equal to zero, then the corresponding system is reduced to a single first-order equation. Also in this case, if certain additional conditions on the coefficients are met, a solution to the original equation in quadratures can be obtained. The studies were carried out for a hyperbolic equation with a mixed derivative and for a nonlinear second-order equation of general form with a homogeneous polynomial of the second degree in the unknown function and its derivatives. In these cases, expressions for the Laplace invariants are obtained and the corresponding equivalent systems are given.

дифференциальное уравнение в частных производныхгиперболическое уравнениеинвариант Лапласалинейное мультипликативное преобразованиеpartial differential equationhyperbolic equationLaplace invariantlinear multiplicative transformationReferencesГурса Э. Курс математического анализа. Т. 3. Ч. 1. М.-Л.: ГИТТЛ, 1933.Goursat E., Cours d’Analyse Mathematique, Paris (1933).Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. М.: Изд-во иностр. лит., 1957.Tricomi F., Lectures on Partial Differential Equations [in Russian], Izdat. Inostr. Lit., Moscow (1957).Джохадзе О. М. Об инвариантах Лапласа для некоторых классов линейных дифференциальных уравнений в частных производных // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40, № 1. С. 58–68.Dzhokhadze O. M., “Laplace invariants for some classes of linear partial differential equations,” Differ. Equ., 40, No. 1, 63–74 (2004). DOI: 10.1023/B:DIEQ.0000028714.62481.2d.Миронов А. Н., Миронова Л. Б. Об инвариантах Лапласа для уравнения с доминирующей частной производной третьего порядка с двумя независимыми переменными // Мат. заметки. 2016. Т. 99, № 1. С. 89–96. DOI: 10.4213/mzm10613.Mironov A. N. and Mironova L. B., “On Laplace invariants for equations with dominating third-order partial derivative and two independent variables,” Math. Notes, 99, No. 1-2, 110– 115 (2016). DOI: 10.1134/S0001434616010119.Миронов А. Н., Миронова Л. Б. Об инвариантах Лапласа для одного уравнения четвертого порядка с двумя независимыми переменными // Изв. вузов. Математика. 2014. № 10. С. 27–34.Mironov A. N. and Mironova L. B., “Laplace invariants for a fourth-order equation with two independent variables,” Russ. Math., 58, No. 10, 22–28 (2014). DOI: 10.3103/S1066369X14100041.Миронов А. Н., Миронова Л. Б. К инвариантам Лапласа для одного уравнения с доминирующей частной производной с тремя независимыми переменными // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55, № 1. С. 67–73. DOI: 10.1134/S0374064119010072.Mironov A. N. and Mironova L. B., “Laplace invariants of an equation with a dominating partial derivative and three independent variables,” Differ. Equ., 55, No. 1, 68–74 (2019). DOI: 10.1134/S0012266119010075.Кузнецова М. Н. Преобразование Лапласа и нелинейные гиперболические уравнения // Уфим. мат. журн. 2009. Т. 1, № 3. С. 87–96.Kuznetsova M. N., “Laplace transform and nonlinear hyperbolic equations [in Russian],” Ufim. Mat. Zhurn., 1, No. 3, 87–96 (2009).Жибер А. В., Соколов В. В. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувиллевского типа // Успехи мат. наук. 2001. Т. 56, № 1. С. 63–106. DOI: https://doi.org/10.4213/rm357.Zhiber A. V. and Sokolov V. V., “Exactly integrable hyperbolic equations of Liouville type,” Russ. Math. Surv., 56, No. 1, 61–101 (2001). DOI: 10.1070/RM2001v056n01ABEH000357.Старцев С. Я. Об инвариантах Лапласа гиперболических уравнений, линеаризуемых дифференциальной подстановкой // Теор. мат. физика. 1999. Т. 120, № 2. С. 237–247.Startsev S. Ya., “Laplace invariants of hyperbolic equations linearizable by a differential substitution,” Theor. Math. Phys., 120, No. 2, 1009–1018 (1999). DOI: 10.1007/BF02557408.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.