matmessМатематические заметки СВФУMathematical notes of NEFU2411-93262587-876XСеверо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосоваmatmess-489Research ArticleМАТЕМАТИКАВЫСОТА 5–ЗВЕЗДЫ В ПЛОСКИХ НОРМАЛЬНЫХ КАРТАХ С МИНИМАЛЬНОЙ СТЕПЕНЬЮ 5HEIGHT OF 5–STARS IN NORMAL PLANE MAPS WITH MINIMUM DEGREE 5ИвановаА. О.IvanovaA. O.

Иванова Анна Олеговна

Северо-Восточный федеральный университет им. М. К. Аммосова, ул. Кулаковского, 48, Якутск, 677000, Республика Саха (Якутия)

A. O. IvanovaAmmosov North-Eastern Federal University,Yakutsk, Republic of Sakha (Yakutia)

shmgnanna@mail.ruНикифоровД. В.NikiforovD. V.

Никифоров Дмитрий Владиславович

Северо-Восточный федеральный университет им. М. К. Аммосова, ул. Кулаковского, 48, Якутск, 677000, Республика Саха (Якутия)

D. V. NikiforovAmmosov North-Eastern Federal University,Yakutsk, Republic of Sakha (Yakutia)

zerorebelion@mail.ruСеверо-Восточный федеральный университет им. М. К. АммосоваРоссияAmmosov North-Eastern Federal UniversityRussian Federation2014100720262143943Copyright © Иванова А.О., Никифоров Д.В., 20262026Иванова А.О., Никифоров Д.В.Ivanova A.O., Nikiforov D.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://matmess.elpub.ru/jour/article/view/489

Рассматриваются нормальные плоские карты M5 с минимальной степенью 5. Высота 5-звезды есть максимальная степень ее вершин. Через h(S5) обозначим минимальную высоту 5-звезд с центром в 5-вершине в данной карте M5. Известно, что существуют нормальные плоские карты M5 с минимальной степенью 5 такие, что h(S5) неограниченно велика. В 1940 г. Лебег доказал, что если

−−−−→

M5 не содержит 4-звезд циклического типа (5,6,6,5) с центром в 5-вершине, то h(S5) ≤ 41. В 2013 г. О. В. Бородин, А. О. Иванова и Т. Р. Йенсен понизили эту

−−−−→ оценку до 28 и дали конструкцию M5 без (5,6,6,5)-звезд с h(S5) = 20.

−−−−→ Доказано, что если M5 не содержит 4-звезд циклического типа (5,6,6,5) с центром в 5-вершине, то h(S5) ≤ 23.

We consider a normal plane map M5 with minimum degree 5. The height of a 5-star is the maximum degree of its vertices. Denote by h(S5) the minimum height of 5-stars centered at a 5-vertex in a given M5. It is known that there are normal plane maps M5 with minimum degree 5 such that h(S5) is arbitrarily large. In 1940, Lebesgue proved that if an M5 has no cyclic 4-stars of type (−−−−→ 5, 6, 6,5) centered at a 5-vertex, then h(S5) ≤ 41. In 2013, O. V. Borodin, A. O. Ivanova, and T. R. Jensen lowered this bound to 28 and constructed an M5 without (−−−−→ 5, 6, 6,5)-stars having h(S5) = 20. We prove that if an M5 has no cyclic 4-stars of type (−−−−→ 5, 6, 6,5) centered at a 5 vertex, then h(S5) ≤ 23.

плоская картаплоский граф3-многогранникструктурные свойствазвездавысотаplane mapplane graph3-polytopestructural propertiesstarheightРабота первого автора выполнена в рамках государственной работы «Организация проведения научных исследований» и поддержана грантами Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 12–01–98510, 12–01–00631, 15–01–05867), второго — при финансовой поддержке Совета по грантам Президента Российской Федерации по государственной поддержке ведущих научных школ (код проекта НШ-1939.2014.1).ReferencesWernicke P. Uber den Kartographischen Vierfarbensatz // Math. Ann¨ 1904. V. 58. P. 413–426.Wernicke P. Uber den Kartographischen Vierfarbensatz // Math. Ann¨ 1904. V. 58. P. 413–426.Franklin Ph. The four colour problem // Amer. J. Math 1922. V. 44. P. 225–236.Franklin Ph. The four colour problem // Amer. J. Math 1922. V. 44. P. 225–236.Lebesgue H. Quelques cons´equences simples de la formule d’Euler // J. Math. Pures Appl 1940. V. 19. P. 27–43.Lebesgue H. Quelques cons´equences simples de la formule d’Euler // J. Math. Pures Appl 1940. V. 19. P. 27–43.Jendrol’ S., Madaras T. On light subgraphs in plane graphs of minimal degree five // Discuss. Math. Graph Theory. 1996. V. 16. P. 207–217.Jendrol’ S., Madaras T. On light subgraphs in plane graphs of minimal degree five // Discuss. Math. Graph Theory. 1996. V. 16. P. 207–217.Van den Heuvel J., McGuinness S. Coloring the square of a planar graph // J. Graph Theory. 2003. V. 42. P. 110–124.Van den Heuvel J., McGuinness S. Coloring the square of a planar graph // J. Graph Theory. 2003. V. 42. P. 110–124.Balogh J., Kochol M., Pluha´r A., Yu X. Covering planar graphs with forests // J. Comb. Theory, Ser. B. 2005. V. 94. P. 147–158.Balogh J., Kochol M., Pluha´r A., Yu X. Covering planar graphs with forests // J. Comb. Theory, Ser. B. 2005. V. 94. P. 147–158.Harant J., Jendrol’ S. On the existence of specific stars in planar graphs // Graphs Comb 2007. V. 23. P. 529–543.Harant J., Jendrol’ S. On the existence of specific stars in planar graphs // Graphs Comb 2007. V. 23. P. 529–543.Borodin O. V., Ivanova A. O. Describing (d − 2)-stars at d-vertices, d ≤ 5, in normal plane maps // Discrete Math 2013. V. 313, N 17. P. 1700–1709.Borodin O. V., Ivanova A. O. Describing (d − 2)-stars at d-vertices, d ≤ 5, in normal plane maps // Discrete Math 2013. V. 313, N 17. P. 1700–1709.Borodin O. V., Ivanova A. O. Describing 4-stars at 5-vertices in normal plane maps with minimum degree 5 // Discrete Math 2013. V. 313, N 17. P. 1710–1714.Borodin O. V., Ivanova A. O. Describing 4-stars at 5-vertices in normal plane maps with minimum degree 5 // Discrete Math 2013. V. 313, N 17. P. 1710–1714.Borodin O. V., Ivanova A. O., Jensen T. R. 5-Stars of low weight in normal plane maps with minimum degree 5 // Discuss. Math. Graph Theory. 2014. V. 34, N 3. P. 539–546.Borodin O. V., Ivanova A. O., Jensen T. R. 5-Stars of low weight in normal plane maps with minimum degree 5 // Discuss. Math. Graph Theory. 2014. V. 34, N 3. P. 539–546.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.