matmessМатематические заметки СВФУMathematical notes of NEFU2411-93262587-876XСеверо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосоваmatmess-396Research ArticleМАТЕМАТИКАОПИСАНИЕ ГРАНЕЙ В 3–МНОГОГРАННИКАХ БЕЗ ВЕРШИН СТЕПЕНЕЙ ОТ 4 ДО 9DESCRIPTION OF FACES IN 3–POLYTOPES WITHOUT VERTICES OF DEGREE FROM 4 TO 9ИвановаА. О.IvanovaA. O.

Иванова Анна Олеговна

Северо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова, ул. Кулаковского, 48, Якутск 677000

Anna Olegovna Ivanova

M. K. Ammosov North-Eastern Federal University, Kulakovskogo st., 48, Yakutsk 677000, Yakutia, Russia 

shmgnanna@mail.ruСеверо-Восточный федеральный университет имени М. К. АммосоваРоссияM. K. Ammosov North-Eastern Federal UniversityRussian Federation2016060720262334654Copyright © Иванова А.О., 20262026Иванова А.О.Ivanova A.O.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://matmess.elpub.ru/jour/article/view/396

В 1940 г. Лебег доказал, что в каждой нормальной плоской карте найдется грань, набор степеней инцидентных вершин которой мажорируется одной из следующих последовательностей: (3,6,∞), (3,7,41), (3,8,23), (3,9,17), (3,10,14), (3,11,13), (4,4,∞), (4,5,19), (4,6,11), (4,7,9), (5,5,9), (5,6,7), (3,3,3,∞), (3,3,4,11), (3,3,5,7), (3,4,4,5), (3,3,3,3,5).

В данной заметке доказывается, что в каждом 3-многограннике, не содержащем вершины степеней от 4 до 9, найдется грань, набор степеней инцидентных вершин которой мажорируется одной из следующих последовательностей: (3,3,∞), (3,10,12), (3,3,3,∞), (3,3,3,3,3), где все параметры точны.

In 1940, Lebesgue proved that every normal plane map contains a face for which the set of degrees of its vertices is majorized by one of the following sequences:

(3,6,∞), (3,7,41), (3,8,23), (3,9,17), (3,10,14), (3,11,13),

(4,4,∞), (4,5,19), (4,6,11), (4,7,9), (5,5,9), (5,6,7),

(3,3,3,∞), (3,3,4,11), (3,3,5,7), (3,4,4,5), (3,3,3,3,5).

In this note prove that every 3-polytope without vertices of degree from 4 to 9 contains a face for which the set of degrees of its vertices is majorized by one of the following sequences: (3,3,∞), (3,10,12), (3,3,3,∞), (3,3,3,3,3), which is tight.

плоский графплоская картаструктурные свойства3-многогранниквесplanar graphplane mapstructure properties3-polytopeweightРабота выполнена в рамках государственной работы «Организация проведения научных исследований» и поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (коды проектов 15–01–05867 и 16–01–00499).ReferencesLebesgue H. Quelques cons´equences simples de la formule d’Euler // J. Math. Pures Appl 1940. V. 19. P. 27–43.Lebesgue H. Quelques cons´equences simples de la formule d’Euler // J. Math. Pures Appl 1940. V. 19. P. 27–43.Borodin O. V. Colorings of plane graphs: a survey // Discrete Math 2013. V. 313, N 4. P. 517–539.Borodin O. V. Colorings of plane graphs: a survey // Discrete Math 2013. V. 313, N 4. P. 517–539.Ore O., Plummer M. D. Cyclic coloration of plane graphs // Recent progress in combinatorics (W. T. Tutte, ed.). New York: Acad. Press, 1969. P. 287–293.Ore O., Plummer M. D. Cyclic coloration of plane graphs // Recent progress in combinatorics (W. T. Tutte, ed.). New York: Acad. Press, 1969. P. 287–293.Plummer M. D., Toft B. Cyclic coloration of 3-polytopes // J. Graph Theory. 1987. V. 11.P. 507–515.Plummer M. D., Toft B. Cyclic coloration of 3-polytopes // J. Graph Theory. 1987. V. 11.P. 507–515.Kotzig A. From the theory of Eulerian polyhedra (Russian) // Mat. Casˇ 1963. V. 13. P. 20–31.Kotzig A. From the theory of Eulerian polyhedra (Russian) // Mat. Casˇ 1963. V. 13. P. 20–31.Бородин О. В. Решение задач Коцига и Грюнбаума об отделимости цикла в плоском графе // Maт. заметки. 1989. V. 46, N 5. P. 9–12.Бородин О. В. Решение задач Коцига и Грюнбаума об отделимости цикла в плоском графе // Maт. заметки. 1989. V. 46, N 5. P. 9–12.Gru¨nbaum B. Polytopal graphs // Studies in graph theory (D. R. Fulkerson, ed.). 1975.P.201–224. (MAA Stud. Math.; V. 12).Gru¨nbaum B. Polytopal graphs // Studies in graph theory (D. R. Fulkerson, ed.). 1975.P.201–224. (MAA Stud. Math.; V. 12).Plummer M. D. On the cyclic connectivity of planar graph // Graph theory and application. Berlin: Springer-Verl., 1972. P. 235–242.Plummer M. D. On the cyclic connectivity of planar graph // Graph theory and application. Berlin: Springer-Verl., 1972. P. 235–242.Steinitz E. Polyeder und Raumeinteilungen // Enzykl. math. Wiss. (Geometrie), 3AB. 1922. V. 12. P. 1–139.Steinitz E. Polyeder und Raumeinteilungen // Enzykl. math. Wiss. (Geometrie), 3AB. 1922. V. 12. P. 1–139.Kotzig A. Extremal polyhedral graphs // Ann. New York Acad. Sci 1979. V. 319. P. 569–570. 11. Бородин О. В. Минимальный вес грани в плоских триангуляциях без 4-вершин // Мат. заметки. 1992. Т. 51, № 1. С. 16–19.Kotzig A. Extremal polyhedral graphs // Ann. New York Acad. Sci 1979. V. 319. P. 569–570. 11. Бородин О. В. Минимальный вес грани в плоских триангуляциях без 4-вершин // Мат. заметки. 1992. Т. 51, № 1. С. 16–19.Borodin O. V. Triangulated 3-polytopes with restricted minimal weight of faces // Discrete Math 1998. V. 186. P. 281–285.Borodin O. V. Triangulated 3-polytopes with restricted minimal weight of faces // Discrete Math 1998. V. 186. P. 281–285.Hornˇa´k M., Jendrol’ S. Unavoidable sets of face types for planar maps // Discuss. Math. Graph Theory. 1996. V. 16, N 2. P. 123–142.Hornˇa´k M., Jendrol’ S. Unavoidable sets of face types for planar maps // Discuss. Math. Graph Theory. 1996. V. 16, N 2. P. 123–142.Бородин О. В., Вудал Д. Р. Вес граней в плоских картах // Maт. заметки. 1998. V. 6, N 5. P. 648–657.Бородин О. В., Вудал Д. Р. Вес граней в плоских картах // Maт. заметки. 1998. V. 6, N 5. P. 648–657.Августинович С. В., Бородин О. В. Окрестности ребер в нормальных картах // Дискрет. анализ и исслед. операций. 1995. Т. 2, № 3. С. 3–9.Августинович С. В., Бородин О. В. Окрестности ребер в нормальных картах // Дискрет. анализ и исслед. операций. 1995. Т. 2, № 3. С. 3–9.Jendrol’ S., Voss H.-J. Light subgraphs of graphs embedded in the plane – a survey // Discrete Math 2013. V. 313, N 4. P. 406–421.Jendrol’ S., Voss H.-J. Light subgraphs of graphs embedded in the plane – a survey // Discrete Math 2013. V. 313, N 4. P. 406–421.Бородин О. В. Совместное обобщение теорем Лебега и Коцига о комбинаторике плоских графов // Дискрет. математика. 1991. Т. 3, № 4. С. 24–27.Бородин О. В. Совместное обобщение теорем Лебега и Коцига о комбинаторике плоских графов // Дискрет. математика. 1991. Т. 3, № 4. С. 24–27.Бородин О. В., Лопарев Д. В. Высота младших граней в плоских нормальных картах // Дискрет. анализ и исслед. опеpаций. 1998. Т. 5, № 4. С. 6–17.Бородин О. В., Лопарев Д. В. Высота младших граней в плоских нормальных картах // Дискрет. анализ и исслед. опеpаций. 1998. Т. 5, № 4. С. 6–17.Ferencova´ B., Madaras T. On the structure of polyhedral graphs with prescribed edge and dual edge weight // Acta Univ. M. Belii Math 2005. V. 12. P. 13–18.Ferencova´ B., Madaras T. On the structure of polyhedral graphs with prescribed edge and dual edge weight // Acta Univ. M. Belii Math 2005. V. 12. P. 13–18.Ferencova´ B., Madaras T. Light graph in families of polyhedral graphs with prescribed minimum degree, face size, edge and dual edge weight // Discrete Math 2010. V. 310. P. 1661–1675.Ferencova´ B., Madaras T. Light graph in families of polyhedral graphs with prescribed minimum degree, face size, edge and dual edge weight // Discrete Math 2010. V. 310. P. 1661–1675.Jendrol’ S. Triangles with restricted degrees of their boundary vertices in plane triangulations // Discrete Math 1999. V. 196. P. 177–196.Jendrol’ S. Triangles with restricted degrees of their boundary vertices in plane triangulations // Discrete Math 1999. V. 196. P. 177–196.Madaras T., Sota´k R. The 10-cycle C10 is light in the family of all plane triangulations with minimum degree five // Tatra Mt. Math. Publ 1999. V. 18. P. 35–56.Madaras T., Sota´k R. The 10-cycle C10 is light in the family of all plane triangulations with minimum degree five // Tatra Mt. Math. Publ 1999. V. 18. P. 35–56.Madaras T., Skrekovski R., Voss H.-J.ˇ The 7-cycle C7 is light in the family of planar graphs with minimum degree 5 // Discrete Math 2007. V. 307. P. 1430–1435.Madaras T., Skrekovski R., Voss H.-J.ˇ The 7-cycle C7 is light in the family of planar graphs with minimum degree 5 // Discrete Math 2007. V. 307. P. 1430–1435.Mohar B., Skrekovski R., Voss H.-J.ˇ Light subraphs in planar graphs of minimum degree 4 and edge-degree 9 // J. Graph Theory. 2003. V. 44. P. 261–295.Mohar B., Skrekovski R., Voss H.-J.ˇ Light subraphs in planar graphs of minimum degree 4 and edge-degree 9 // J. Graph Theory. 2003. V. 44. P. 261–295.Madaras T., Skrekovski R.ˇHeavy paths, light stars, and big melons // Discrete Math 2004.V. 286. P. 115–131.Madaras T., Skrekovski R.ˇHeavy paths, light stars, and big melons // Discrete Math 2004.V. 286. P. 115–131.Бородин О. В. Усиление теоремы Лебега о строении младших граней в выпуклых многогранниках // Дискрет. анализ и исслед. операций. 2002. Т. 9, № 3. С. 29–39.Бородин О. В. Усиление теоремы Лебега о строении младших граней в выпуклых многогранниках // Дискрет. анализ и исслед. операций. 2002. Т. 9, № 3. С. 29–39.Borodin O. V., Ivanova A. O. Describing 3-faces in normal plane maps with minimum degree 4 // Discrete Math 2013. V. 313, N 23. P. 2841–2847.Borodin O. V., Ivanova A. O. Describing 3-faces in normal plane maps with minimum degree 4 // Discrete Math 2013. V. 313, N 23. P. 2841–2847.Borodin O. V., Woodall D. R. Cyclic degrees of 3-polytopes // Graphs Comb 1999. V. 15. P. 267–277.Borodin O. V., Woodall D. R. Cyclic degrees of 3-polytopes // Graphs Comb 1999. V. 15. P. 267–277.Kotzig A. Contribution to the theory of Eulerian polyhedra // Mat.-Fyz. Casˇ 1955. V. 5. P. 101–113.Kotzig A. Contribution to the theory of Eulerian polyhedra // Mat.-Fyz. Casˇ 1955. V. 5. P. 101–113.Wernicke P. Uber den kartographischen Vierfarbensatz // Math. Ann¨ 1904. V. 58. P. 413–426.Wernicke P. Uber den kartographischen Vierfarbensatz // Math. Ann¨ 1904. V. 58. P. 413–426.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.