matmessМатематические заметки СВФУMathematical notes of NEFU2411-93262587-876XСеверо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосоваmatmess-383Research ArticleМАТЕМАТИКАОБ ИЕРАРХИИ ТОНКИХ ВКЛЮЧЕНИЙ В УПРУГИХ ТЕЛАХON THE HIERARCHY OF THIN DELAMINATED INCLUSIONS IN ELASTIC BODIESХлудневА. М.KhludnevA. M.

Хлуднев Александр Михайлович

Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, пр. Акад. Лаврентьева, 15, Новосибирск 630090;

Новосибирский гос. университет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск 630090 khlud@hydro.nsc.ru

Khludnev Aleksandr Mikhayilovich

Lavrentiev Institute of Hydrodynamics SBRAS, Acad. Lavrentiev ave, 15, Novosibirsk 630090, Russia;

Novosibirsk State University, Pirogova st., 2, Novosibirsk 630090, Russia 

khlud@hydro.nsc.ruПоповаТ. С.PopovaT. S.

Попова Татьяна Семеновна

Северо-Восточный федеральный университет им. М. К. Аммосова, ул. Белинского, 58, Якутск 677000

Popova Tatiana Sergeevna

Nord-East Federal University, Belinskogo st., 58, Yakutsk 677000, Russia 

ptsokt@mail.ruИнститут гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН; Новосибирский гос. университет;РоссияLavrentiev Institute of Hydrodynamics SBRAS; Novosibirsk State UniversityRussian FederationСеверо-Восточный федеральный университет им. М. К. АммосоваРоссияNord-East Federal UniversityRussian Federation20162306202623187107Copyright © Хлуднев А.М., Попова Т.С., 20262026Хлуднев А.М., Попова Т.С.Khludnev A.M., Popova T.S.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://matmess.elpub.ru/jour/article/view/383

Обсуждаются модели тонких включений в упругих телах при наличии отслоений. Наличие отслоения означает существование трещины между включением и матрицей. На берегах трещины задаются нелинейные краевые условия вида неравенств, исключающие взаимное проникание берегов, что приводит к формулировке проблем в виде задач с неизвестной областью контакта. Исследуется взаимосвязь между существующими математическими моделями и возможность предельных переходов по параметрам, характеризующим жесткость тонких включений.

e consider models of thin delaminated inclusions in elastic bodies. The delamination means a presence of a crack between the inclusion and the matrix. Inequality type boundary conditions are imposed at the crack faces to prevent a mutual penetration. This approach leads to free boundary problem formulations. Connections between different mathematical models are discussed. Passages to limits with respect to inclusion rigidity parameters are analyzed.

тонкое включениеупругое телотрещинанелинейные краевые условияпараметр жесткостипредельные моделиthin inclusionelastic bodycracknon-linear boundary conditionsrigidity parameterlimiting modelsРабота выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки России в рамках базовой части государственного задания (проект №3047).ReferencesKhludnev A. M., Kovtunenko V. A. Analysis of cracks in solids. Southampton; Boston: WIT Press, 2000.Khludnev A. M., Kovtunenko V. A. Analysis of cracks in solids. Southampton; Boston: WIT Press, 2000.Хлуднев А. М. Задачи теории упругости в негладких областях. М.: Физматлит, 2010.Хлуднев А. М. Задачи теории упругости в негладких областях. М.: Физматлит, 2010.Ковтуненко В. А. Инвариантные интегралы энергии для нелинейной задачи о трещине с возможным контактом берегов // Прикл. математика и механика. 2003. Т. 67, № 1. С. 109–123.Ковтуненко В. А. Инвариантные интегралы энергии для нелинейной задачи о трещине с возможным контактом берегов // Прикл. математика и механика. 2003. Т. 67, № 1. С. 109–123.Kovtunenko V. A. Primal-dual methods of shape sensitivity analysis for curvilinear cracks with nonpenetration // IMA J. Appl. Math 2006. V. 71, N 5. P. 635–657.Kovtunenko V. A. Primal-dual methods of shape sensitivity analysis for curvilinear cracks with nonpenetration // IMA J. Appl. Math 2006. V. 71, N 5. P. 635–657.Knees D., Mielke A. Energy release rate for cracks in finite-strain elasticity // Math. Methods Appl. Sci 2008. V. 31, N 5. P. 501–518.Knees D., Mielke A. Energy release rate for cracks in finite-strain elasticity // Math. Methods Appl. Sci 2008. V. 31, N 5. P. 501–518.Knees D., Schroder A. Global spatial regularity for elasticity models with cracks, contact and other nonsmooth constraints // Math. Methods Appl. Sci 2012. V. 35, N 15. P. 1859–1884.Knees D., Schroder A. Global spatial regularity for elasticity models with cracks, contact and other nonsmooth constraints // Math. Methods Appl. Sci 2012. V. 35, N 15. P. 1859–1884.Рудой Е. М. Формула Гриффитса и интеграл Черепанова — Райса для пластины с жестким включением и трещиной // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. 2010. Т. 10, № 2. С. 98–117.Рудой Е. М. Формула Гриффитса и интеграл Черепанова — Райса для пластины с жестким включением и трещиной // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. 2010. Т. 10, № 2. С. 98–117.Рудой Е. М. Асимптотика функционала энергии для трехмерного тела с жестким включением и трещиной // Прикл. механика и техн. физика. 2011. Т. 52, № 2. С. 114–127. 9. Лазарев Н. П. Задача о равновесии пологой оболочки Тимошенко, содержащей сквозную трещину // Сиб. журн. индустр. математики. 2012. Т. 15, № 3. С. 58–69.Рудой Е. М. Асимптотика функционала энергии для трехмерного тела с жестким включением и трещиной // Прикл. механика и техн. физика. 2011. Т. 52, № 2. С. 114–127. 9. Лазарев Н. П. Задача о равновесии пологой оболочки Тимошенко, содержащей сквозную трещину // Сиб. журн. индустр. математики. 2012. Т. 15, № 3. С. 58–69.Lazarev N. P., Rudoy E. M. Shape sensitivity analysis of Timoshenko’s plate with a crack under the nonpenetration condition // Z. Angew. Math. Mech 2014. V. 94. P. 730–739.Lazarev N. P., Rudoy E. M. Shape sensitivity analysis of Timoshenko’s plate with a crack under the nonpenetration condition // Z. Angew. Math. Mech 2014. V. 94. P. 730–739.Соколовский Я., Хлуднев А. М. О производной функционала энергии по длине трещины в задачах теории упругости // Прикл. математика и механика. 2000. Т. 64, № 3. С. 464–475.Соколовский Я., Хлуднев А. М. О производной функционала энергии по длине трещины в задачах теории упругости // Прикл. математика и механика. 2000. Т. 64, № 3. С. 464–475.Хлуднев А. М. Задача о трещине на границе жесткого включения в упругой пластине // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2010. № 5. С. 98–110.Хлуднев А. М. Задача о трещине на границе жесткого включения в упругой пластине // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2010. № 5. С. 98–110.Khludnev A. M., Negri M. Crack on the boundary of a thin elastic inclusion inside an elastic body // Z. Angew. Math. Mech 2012. V. 92, N 5. P. 341–354.Khludnev A. M., Negri M. Crack on the boundary of a thin elastic inclusion inside an elastic body // Z. Angew. Math. Mech 2012. V. 92, N 5. P. 341–354.Khludnev A. M. Thin rigid inclusions with delaminations in elastic plates // Eur. J. Mech., A, Solids. 2012. V. 32. P. 69–75.Khludnev A. M. Thin rigid inclusions with delaminations in elastic plates // Eur. J. Mech., A, Solids. 2012. V. 32. P. 69–75.Itou H., Khludnev A. M., Rudoy E. M., Tani A. Asymptotic behaviour at a tip of a rigid line inclusion in linearized elasticity // Z. Angew. Math. Mech 2012. V. 92, N 9. P. 716–730.Itou H., Khludnev A. M., Rudoy E. M., Tani A. Asymptotic behaviour at a tip of a rigid line inclusion in linearized elasticity // Z. Angew. Math. Mech 2012. V. 92, N 9. P. 716–730.Khludnev A. M., Leugering G. On elastic bodies with thin rigid inclusions and cracks // Math. Methods Appl. Sci 2010. V. 33, N 16. P. 1955–1967.Khludnev A. M., Leugering G. On elastic bodies with thin rigid inclusions and cracks // Math. Methods Appl. Sci 2010. V. 33, N 16. P. 1955–1967.Khludnev A. M., Leugering G. R. Delaminated thin elastic inclusion inside elastic bodies // Math. Mech. Complex Systems. 2014. V. 2, N 1. P. 1–21.Khludnev A. M., Leugering G. R. Delaminated thin elastic inclusion inside elastic bodies // Math. Mech. Complex Systems. 2014. V. 2, N 1. P. 1–21.Khludnev A. M., Leugering G. R. On Timoshenko thin elastic inclusions inside elastic bodies // Math. Mech. Solids. 2015. V. 20, N 5. P. 495–511.Khludnev A. M., Leugering G. R. On Timoshenko thin elastic inclusions inside elastic bodies // Math. Mech. Solids. 2015. V. 20, N 5. P. 495–511.Itou H., Khludnev A. M. On delaminated thin Timoshenko inclusions inside elastic bodies // Math. Methods Appl. Sci. doi 10.1002/mma.3279.Itou H., Khludnev A. M. On delaminated thin Timoshenko inclusions inside elastic bodies // Math. Methods Appl. Sci. doi 10.1002/mma.3279.Щербаков В. В. Существование оптимальной формы тонких жестких включений в пластине Кирхгофа — Лява // Сиб. журн. индустр. математики. 2013. Т. 16, № 4. С. 142–151.Щербаков В. В. Существование оптимальной формы тонких жестких включений в пластине Кирхгофа — Лява // Сиб. журн. индустр. математики. 2013. Т. 16, № 4. С. 142–151.Khludnev A. M. Thin rigid inclusions with delaminations in elastic plates // Eur. J. Mech., A, Solids. 2012. V. 32. P. 69–75.Khludnev A. M. Thin rigid inclusions with delaminations in elastic plates // Eur. J. Mech., A, Solids. 2012. V. 32. P. 69–75.Khludnev A. M., Leugering G. Optimal control of cracks in elastic bodies with thin rigid inclusions // Z. Angew. Math. Mech 2011. V. 91, N 2. P. 125–137.Khludnev A. M., Leugering G. Optimal control of cracks in elastic bodies with thin rigid inclusions // Z. Angew. Math. Mech 2011. V. 91, N 2. P. 125–137.Khludnev A. M. Singular invariant integrals for elastic body with delaminated thin elastic inclusion // Quart. Appl. Math 2014. V. 72, N 4. P. 719–730.Khludnev A. M. Singular invariant integrals for elastic body with delaminated thin elastic inclusion // Quart. Appl. Math 2014. V. 72, N 4. P. 719–730.Lazarev N. P. Shape sensitivity analysis of the energy integrals for the Timoshenko-type plate containing a crack on the boundary of a rigid inclusion // Z. Angew. Math. Phys 2015. V. 66 N 4. P. 2025–2040.Lazarev N. P. Shape sensitivity analysis of the energy integrals for the Timoshenko-type plate containing a crack on the boundary of a rigid inclusion // Z. Angew. Math. Phys 2015. V. 66 N 4. P. 2025–2040.Khludnev A. M. Thin inclusions in elastic bodies crossing an external boundary // Z. Angew.Khludnev A. M. Thin inclusions in elastic bodies crossing an external boundary // Z. Angew.Math. Mech 2015. V. 95, N 11. P. 1256–1267.Math. Mech 2015. V. 95, N 11. P. 1256–1267.Grisvard P. Singularities in boundary value problems. Masson: Springer-Verl., 1992.Grisvard P. Singularities in boundary value problems. Masson: Springer-Verl., 1992.Морозов Н. Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984.Морозов Н. Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984.Bessoud A.-L., Krasucki F., Serpilli M. Plate-like and shell-like inclusions with high rigidity //Bessoud A.-L., Krasucki F., Serpilli M. Plate-like and shell-like inclusions with high rigidity //C. R. Math., Acad. Sci. Paris. 2008. V. 346, Special Issue. P. 697–702.C. R. Math., Acad. Sci. Paris. 2008. V. 346, Special Issue. P. 697–702.Bessoud A.-L., Krasucki F., Michaille G. Multi-materials with strong interface: Variational modelings // Asymptotic Anal 2009. V. 61, N 1. P. 1–19.Bessoud A.-L., Krasucki F., Michaille G. Multi-materials with strong interface: Variational modelings // Asymptotic Anal 2009. V. 61, N 1. P. 1–19.Pasternak I. M. Plane problem of elasticity theory for anisotropic bodies with thin elastic inclusions // J. Math. Sci 2012. V. 186, N 1. P. 31–47.Pasternak I. M. Plane problem of elasticity theory for anisotropic bodies with thin elastic inclusions // J. Math. Sci 2012. V. 186, N 1. P. 31–47.Kozlov V. A., Maz’ya V. G., Movchan A. B. Asymptotic analysis of fields in a multi-structure. New York: Oxford Univ. Press, 1999. (Oxford Math. Monogr.).Kozlov V. A., Maz’ya V. G., Movchan A. B. Asymptotic analysis of fields in a multi-structure. New York: Oxford Univ. Press, 1999. (Oxford Math. Monogr.).Vynnytska L., Savula Y. Mathematical modeling and numerical analysis of elastic body with thin inclusion // Comput. Mech 2004. V. 50, N 5. P. 533–542.Vynnytska L., Savula Y. Mathematical modeling and numerical analysis of elastic body with thin inclusion // Comput. Mech 2004. V. 50, N 5. P. 533–542.Неустроева Н. В. Жесткое включение в контактной задаче для упругих пластин // Сиб. журн. индустр. математики. 2009. Т. 12, № 4. С. 92–105.Неустроева Н. В. Жесткое включение в контактной задаче для упругих пластин // Сиб. журн. индустр. математики. 2009. Т. 12, № 4. С. 92–105.Неустроева Н. В. Односторонний контакт упругих пластин с жестким включением // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. 2009. Т. 9, № 4. С. 51–64.Неустроева Н. В. Односторонний контакт упругих пластин с жестким включением // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. 2009. Т. 9, № 4. С. 51–64.Ротанова Т. А. О постановках и разрешимости задач о контакте двух пластин, содержащих жесткие включения // Сиб. журн. индустр. математики. 2012. Т. 15, № 2. С. 107–118. 36. Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек.. М.: Наука, 1972.Ротанова Т. А. О постановках и разрешимости задач о контакте двух пластин, содержащих жесткие включения // Сиб. журн. индустр. математики. 2012. Т. 15, № 2. С. 107–118. 36. Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек.. М.: Наука, 1972.Хлуднев А. М. Слабо искривленное включение в упругом теле при наличии отслоения // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2015. № 5. С. 131–144.Хлуднев А. М. Слабо искривленное включение в упругом теле при наличии отслоения // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2015. № 5. С. 131–144.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.