matmessМатематические заметки СВФУMathematical notes of NEFU2411-93262587-876XСеверо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосова10.25587/SVFU.2018.3.10890matmess-361Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕТЕЧЕНИЕ И ПЕРЕНОС В ПЕРФОРИРОВАННЫХ И ТРЕЩИНОВАТЫХ ОБЛАСТЯХ С НЕОДНОРОДНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ РОБИНАFLOW AND TRANSPORT IN PERFORATED AND FRACTURED DOMAINS WITH ROBIN BOUNDARY CONDITIONSГаврильеваУ. С.GavrilievaU. S.

Гаврильева Уйгулаана Семеновна

Северо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова, Институт математики и информатики, ул. Кулаковского, 42, Якутск 677000

Uygulaana S. Gavrilieva

M. K. Ammosov North-Eastern Federal University, Institute of Mathematics and Informatics, 42 Kulakovsky Street, Yakutsk 677891, Russia

lanasemna@mail.ruАлексеевВ. Н.AlekseevV. N.

Алексеев Валентин Николаевич

Северо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова, Институт математики и информатики, ул. Кулаковского, 42, Якутск 677000

Valentin N. Alekseev

M. K. Ammosov North-Eastern Federal University, Institute of Mathematics and Informatics, 42 Kulakovsky Street, Yakutsk 677891, Russia

alekseev.valen@mail.ruВасильеваМ. В.VasilyevaM. V.

Васильева Мария Васильевна

Северо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова, Институт математики и информатики, ул. Кулаковского, 42, Якутск 677000

Maria V. Vasilyeva

M. K. Ammosov North-Eastern Federal University, Institute of Mathematics and Informatics, 42 Kulakovsky Street, Yakutsk 677891, Russia

vasilyevadotmdotv@gmail.comСеверо-Восточный федеральный университет имени М. К. АммосоваРоссияM. K. Ammosov North-Eastern Federal UniversityRussian Federation2017200620262436577Copyright © Гаврильева У.С., Алексеев В.Н., Васильева М.В., 20262026Гаврильева У.С., Алексеев В.Н., Васильева М.В.Gavrilieva U.S., Alekseev V.N., Vasilyeva M.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://matmess.elpub.ru/jour/article/view/361

Рассматриваются задачи переноса и течения в перфорированных и трещиноватых областях. Система уравнений описывается уравнением Стокса для моделирования течения флюида в области и уравнением переноса концентрации некоторого вещества. Перенос концентрации дополняется неоднородными граничными условиями третьего рода, которые моделируют происходящую реакцию на гранях моделируемого объекта. Для численного решения задачи строится конечноэлементная аппроксимация уравнения. Для получения устойчивого решения задачи переноса используется метод SUPG (streamline upwind Petrov–Galerkin) для стабилизации классического метода Гал¨еркина. Вычислительная реализация основана на вычислительной библиотеке FEniCS. Представлены результаты решения модельной задачи в перфорированных и трещиноватых областях. Численно исследованы различные режимы неоднородных граничных условий. 

We consider transport and flow problems in perforated and fractured domains. The system of equations is described by the Stokes equation for modeling fluid flow and the equation for the concentration transfer of a certain substance. Concentration is supplemented by inhomogeneous boundary conditions of the third type which simulate the occurring reaction on the faces of the modeled object. For the numerical solution of the problem, a finite-element approximation of the equation is constructed. To obtain a sustainable solution to the transport problem, the SUPG (streamline upwind Petrov–Galerkin) method is used to stabilize the classical Galerkin method. The computational implementation is based on the Fenics computational library. The results of solving the model problem in perforated and fractured domains are presented. Numerical studies of various regimes of heterogeneous boundary conditions were carried out. 

уравнение переносазадача Стоксаперфорированная областьтрещиноватая областьчисленное моделированиеграничное условие Робиначисленная стабилизацияSUPGметод конечных элементовtransport equationStokes problemperforated domainfractured domainnumerical modelingRobin boundary conditionnumerical stabilizationSUPGfinite element methodРабота выполнена за счет гранта РНФ 17–71–20055.The authors were supported by the Russian Science Foundation (Grant 17–71–20055).ReferencesChung E. T. et al. Multiscale model reduction for transport and flow problems in perforated domains // J. Comput. Appl. Math. 2018. V. 330. P. 519–535.Chung E. T. et al. Multiscale model reduction for transport and flow problems in perforated domains // J. Comput. Appl. Math. 2018. V. 330. P. 519–535.Chung E. T., Vasilyeva M., Wang Y. A conservative local multiscale model reduction technique for Stokes flows in heterogeneous perforated domains // J. Comput. Appl. Math. 2017. V. 321. P. 389–405.Chung E. T., Vasilyeva M., Wang Y. A conservative local multiscale model reduction technique for Stokes flows in heterogeneous perforated domains // J. Comput. Appl. Math. 2017. V. 321. P. 389–405.Васильева М. В., Прокопьев Г. А. Численное решение задачи двухфазной фильтрации с неоднородными коэффициентами методом конечных элементов // Мат. заметки СВФУ. 2017. Т. 24. № 2. С. 46–62.Васильева М. В., Прокопьев Г. А. Численное решение задачи двухфазной фильтрации с неоднородными коэффициентами методом конечных элементов // Мат. заметки СВФУ. 2017. Т. 24. № 2. С. 46–62.Chung E. T., Iliev O., Vasilyeva M. V. Generalized multiscale finite element method for nonNewtonian fluid flow in perforated domain // AIP Conference Proceedings. AIP Publishing, 2016. V. 1773. N 1. P. 100001.Chung E. T., Iliev O., Vasilyeva M. V. Generalized multiscale finite element method for nonNewtonian fluid flow in perforated domain // AIP Conference Proceedings. AIP Publishing, 2016. V. 1773. N 1. P. 100001.Chung E. T. et al. Generalized multiscale finite element methods for problems in perforated heterogeneous domains // Appl. Anal. 2016. V. 95. N 10. P. 2254–2279.Chung E. T. et al. Generalized multiscale finite element methods for problems in perforated heterogeneous domains // Appl. Anal. 2016. V. 95. N 10. P. 2254–2279.Battiato I. et al. Hybrid models of reactive transport in porous and fractured media // Adv. Water Resources. 2011. V. 34. N 9. P. 140–1150.Battiato I. et al. Hybrid models of reactive transport in porous and fractured media // Adv. Water Resources. 2011. V. 34. N 9. P. 140–1150.Battiato I., Tartakovsky D. M. Applicability regimes for macroscopic models of reactive transport in porous media // J. contaminant hydrology. 2011. V. 120. P. 18–26.Battiato I., Tartakovsky D. M. Applicability regimes for macroscopic models of reactive transport in porous media // J. contaminant hydrology. 2011. V. 120. P. 18–26.Tomin P., Lunati I. Hybrid Multiscale Finite Volume method for two-phase flow in porous media // J. Comput. Physics. 2013. V. 250. P.‘293–307.Tomin P., Lunati I. Hybrid Multiscale Finite Volume method for two-phase flow in porous media // J. Comput. Physics. 2013. V. 250. P.‘293–307.Brezzi F., Fortin M. Mixed and hybrid finite element methods. New York: Springer Science & Business Media, 2012. (Springer Ser. Comput. Math.; V. 15).Brezzi F., Fortin M. Mixed and hybrid finite element methods. New York: Springer Science & Business Media, 2012. (Springer Ser. Comput. Math.; V. 15).Raviart P. A., Thomas J. M. A mixed finite element method for 2-nd order elliptic problems // Mathematical aspects of finite element methods. Berlin; Heidelberg: Springer-Verl, 1977. P. 292–315.Raviart P. A., Thomas J. M. A mixed finite element method for 2-nd order elliptic problems // Mathematical aspects of finite element methods. Berlin; Heidelberg: Springer-Verl, 1977. P. 292–315.Donea J., Huerta A. Finite element methods for flow problems. Chichester: John Wiley & Sons, 2003.Donea J., Huerta A. Finite element methods for flow problems. Chichester: John Wiley & Sons, 2003.Brooks A. N. A Petrov–Galerkin finite element formulation for convection dominated flows: diss. California Institute of Technology, 1981.Brooks A. N. A Petrov–Galerkin finite element formulation for convection dominated flows: diss. California Institute of Technology, 1981.Vabishchevich P. N., Vasil′eva M. V. Explicit-implicit schemes for convection-diffusionreaction problems // Numer. Anal. Appl. 2012. V. 5, N 4. P. 297–306.Vabishchevich P. N., Vasil′eva M. V. Explicit-implicit schemes for convection-diffusionreaction problems // Numer. Anal. Appl. 2012. V. 5, N 4. P. 297–306.Afanas′eva N. M., Vabishchevich P. N., Vasil′eva M. V. Unconditionally stable schemes for convection-diffusion problems // Russian Mathematics. 2013. V. 57, N 3. P. 1–11.Afanas′eva N. M., Vabishchevich P. N., Vasil′eva M. V. Unconditionally stable schemes for convection-diffusion problems // Russian Mathematics. 2013. V. 57, N 3. P. 1–11.Brooks A. N., Hughes T. J. R. Streamline upwind/Petrov–Galerkin formulations for convection dominated flows with particular emphasis on the incompressible Navier–Stokes equations // Comp. Methods Appl. Mechanics and Engineering. 1982. V. 32, N 1–3. P. 199–259.Brooks A. N., Hughes T. J. R. Streamline upwind/Petrov–Galerkin formulations for convection dominated flows with particular emphasis on the incompressible Navier–Stokes equations // Comp. Methods Appl. Mechanics and Engineering. 1982. V. 32, N 1–3. P. 199–259.Rivi`re B., Wheeler M. F. Discontinuous Galerkin methods for flow and transport problems in porous media // Intern. J. Numer. Methods in Biomedical Engineering. 2002. V. 18, N 1. P. 63–68.Rivi`re B., Wheeler M. F. Discontinuous Galerkin methods for flow and transport problems in porous media // Intern. J. Numer. Methods in Biomedical Engineering. 2002. V. 18, N 1. P. 63–68.Cockburn B., Shu C. W. The local discontinuous Galerkin method for time-dependent convection-diffusion systems // SIAM J. Numer. Anal. 1998. V. 35, N 6. P. 2440–2463.Cockburn B., Shu C. W. The local discontinuous Galerkin method for time-dependent convection-diffusion systems // SIAM J. Numer. Anal. 1998. V. 35, N 6. P. 2440–2463.Алексеев В. Н., Васильева М. В., Степанов С. П. Итерационные методы решения для задачи течения и переноса в перфорированных областях // Вестн. СВФУ. 2016. № 5. С. 67–79.Алексеев В. Н., Васильева М. В., Степанов С. П. Итерационные методы решения для задачи течения и переноса в перфорированных областях // Вестн. СВФУ. 2016. № 5. С. 67–79.Васильева М. В., Васильев В. И., Тимофеева Т. С. Численное решение методом конечных элементов задач диффузионного и конвективного переноса в сильно гетерогенных пористых средах // Уч. зап. Казан. ун-та. Сер. Физико-математические науки. 2016. Т. 158, № 2, С. 243–261.Васильева М. В., Васильев В. И., Тимофеева Т. С. Численное решение методом конечных элементов задач диффузионного и конвективного переноса в сильно гетерогенных пористых средах // Уч. зап. Казан. ун-та. Сер. Физико-математические науки. 2016. Т. 158, № 2, С. 243–261.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.