matmessМатематические заметки СВФУMathematical notes of NEFU2411-93262587-876XСеверо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосова10.25587/SVFU.2017.2.9249matmess-354Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕМАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОМЕРЗАНИЯ НЕНАСЫЩЕННОГО ГРУНТА ПРИ НАЛИЧИИ КАПИЛЛЯРНЫХ СИЛA MATHEMATICAL MODEL OF FREEZING OF UNSATURATED SOILS IN THE PRESENCE OF CAPILLARY PRESSUREЦыпкинГ. Г.TsypkinG. G.

Цыпкин Георгий Геннадьевич

Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН, пр. Вернадского, 101-1, Москва 119526 

Georgii G. Tsypkin

Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics of the Russian Academy of Sciences, pr. Vernadskogo 101-1, Moscow 119526, Russia

tsypkin@ipmnet.ruИнститут проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАНРоссияIshlinsky Institute for Problems in Mechanics of the Russian Academy of SciencesRussian Federation20171506202624294105Copyright © Цыпкин Г.Г., 20262026Цыпкин Г.Г.Tsypkin G.G.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://matmess.elpub.ru/jour/article/view/354

Сформулирована математическая модель промерзания грунта, насыщенного гетерогенной смесью воды и воздуха, при наличии капиллярного давления. Представлен вывод уравнения диффузии влаги, следующий из законов сохранения масс и импульса, позволяющий выразить коэффициент диффузии через параметры среды. Выведены балансовые соотношения и предложено замыкающее соотношение на фронте кристаллизации воды. В линейном приближении получено автомодельное решение задачи.

A mathematical model of freezing of soils saturated with a heterogeneous mixture of water and air in the presence of capillary pressure is proposed. The derivation of the diffusion equation for the redistribution of moisture from the laws of conservation of mass and momentum is given. This allows us to define the diffusion coefficient through the parameters of the porous medium and fluids. Balance relations through the water crystallization front is derived. A self-similar solution of the problem in the linear approximation is obtained. It is shown that the growth of capillary forces reduces the amount of ice formed, and a more intensive freezing regime leads to an increase in the saturation with ice.

ненасышенные грунтыкапиллярное давлениефильтрацияфазовые переходыледunsaturated soilcapillary pressurefiltrationfreezingiceРабота выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 16–01–00363.The work was supported by the grant from the Russian Foundation for Basic Research (project code 16–01–00363).ReferencesЦытович Н. А. Механика мерзлых грунтов. М.: Высшая школа, 1973.Цытович Н. А. Механика мерзлых грунтов. М.: Высшая школа, 1973.Жесткова Т. Н. Формирование криогенного строения грунтов. М.: Наука, 1982.Жесткова Т. Н. Формирование криогенного строения грунтов. М.: Наука, 1982.Hoekstra P. Moisture movement in soils under temperature gradient with the cold-side temperature below freezing // Water Resources Res. 1966. V. 2. N 2. P. 241–250.Hoekstra P. Moisture movement in soils under temperature gradient with the cold-side temperature below freezing // Water Resources Res. 1966. V. 2. N 2. P. 241–250.Zhang Y., Carey S. K., Quinton W. L. Evaluation of the algorithms and parametrizations for ground thawing and freezing simulation in permafrost regions // J. Geophys. Res. 2008. V. 113. D17116.Zhang Y., Carey S. K., Quinton W. L. Evaluation of the algorithms and parametrizations for ground thawing and freezing simulation in permafrost regions // J. Geophys. Res. 2008. V. 113. D17116.Li Q., Sun S., Dai Q. The numerical scheme development of a simplified frozen soil model // Adv. Apmosph. Sci. 2009. V. 26. N 5. P. 940–950.Li Q., Sun S., Dai Q. The numerical scheme development of a simplified frozen soil model // Adv. Apmosph. Sci. 2009. V. 26. N 5. P. 940–950.Akbari G., Tabrizi H. B., Damangir E. Numerical and experimental investigation of variable phase transformation number effect in porous media during freezing process // Heat Mass Transfer. 2009. V. 45. N 4. P. 407–416.Akbari G., Tabrizi H. B., Damangir E. Numerical and experimental investigation of variable phase transformation number effect in porous media during freezing process // Heat Mass Transfer. 2009. V. 45. N 4. P. 407–416.Menot J. M. Equations of frost propagation in unsaturated porous media // Eng. Geology. 1979. V. 13. N 1–4. P. 101–109.Menot J. M. Equations of frost propagation in unsaturated porous media // Eng. Geology. 1979. V. 13. N 1–4. P. 101–109.Цыпкин Г. Г. Линейная задача о фазовых переходах вода — лед в ненасыщенных грунтах // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1990. № 3. С. 68–73.Цыпкин Г. Г. Линейная задача о фазовых переходах вода — лед в ненасыщенных грунтах // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1990. № 3. С. 68–73.Цыпкин Г. Г. Влияние капиллярных сил на распределение влагонасыщенности при протаивании мерзлого грунта // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2010. № 6. С. 130–140Цыпкин Г. Г. Влияние капиллярных сил на распределение влагонасыщенности при протаивании мерзлого грунта // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2010. № 6. С. 130–140Васильев В. И., Попов В. В., Цыпкин Г. Г. Нелинейная задача протаивания ненасыщенного мерзлого грунта при наличии капиллярных сил // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2012. № 1. С. 132–141.Васильев В. И., Попов В. В., Цыпкин Г. Г. Нелинейная задача протаивания ненасыщенного мерзлого грунта при наличии капиллярных сил // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2012. № 1. С. 132–141.Leverett M. C. Capillary behavior in porous solids // Trans. AIME. 1941. V. 142. N 1. P. 152–169.Leverett M. C. Capillary behavior in porous solids // Trans. AIME. 1941. V. 142. N 1. P. 152–169.Bear J. Dynamics of Fluids in Porous Media. New York: Acad. Press, 1972.Bear J. Dynamics of Fluids in Porous Media. New York: Acad. Press, 1972.Pruess K., O’Sullivan M. Effect of capillarity and vapor adsorbtion in the depletion of vapordominated geothermal reservoirs // Proc., 17th Workshop on Geothermal Reservoir Engineering. Stanford, CA. USA: 1992. P. 165–174.Pruess K., O’Sullivan M. Effect of capillarity and vapor adsorbtion in the depletion of vapordominated geothermal reservoirs // Proc., 17th Workshop on Geothermal Reservoir Engineering. Stanford, CA. USA: 1992. P. 165–174.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.