matmessМатематические заметки СВФУMathematical notes of NEFU2411-93262587-876XСеверо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосова10.25587/SVFU.2017.2.9245matmess-350Research ArticleМАТЕМАТИКАЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДВУХФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ С НЕОДНОРОДНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВNUMERICAL SOLUTION TO THE PROBLEM OF TWO–PHASE FILTRATION WITH HETEROGENEOUS COEFFICIENTS BY THE FINITE ELEMENT METHODВасильеваМ. В.VasilyevaM. V.

Васильева Мария ВасильевнаСеверо-Восточный федеральный университет им. М. К. Аммосова,Институт математики и информатики, ул. Кулаковского 42, Якутск 677891 

Maria V. Vasilyeva

M. K. Ammosov North-Eastern Federal University, Institute of Mathematics and Informatics, 42, Kulakovsky St., Yakutsk 677000, Russia 

vasilyevadotmdotv@gmail.comПрокопьевГ. А.ProkopievG. A.

Прокопьев Григорий Анатольевич

Северо-Восточный федеральный университет им. М. К. Аммосова,

Институт математики и информатики, ул. Кулаковского 42, Якутск 677891 

Grigorii A. Prokopiev

M. K. Ammosov North-Eastern Federal University, Institute of Mathematics and Informatics, 42, Kulakovsky St., Yakutsk 677000, Russia 

reilroot@gmail.comСеверо-Восточный федеральный университет им. М. К. АммосоваРоссияM. K. Ammosov North-Eastern Federal UniversityRussian Federation2017150620262424460Copyright © Васильева М.В., Прокопьев Г.А., 20262026Васильева М.В., Прокопьев Г.А.Vasilyeva M.V., Prokopiev G.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://matmess.elpub.ru/jour/article/view/350

Рассматривается процесс фильтрации двухфазной жидкости в пористой неоднородной среде. Данный процесс описывается связанной системой уравнений для насыщенности, скорости фильтрации и порового давления. Рассмотрены математические модели с учетом и без учета капиллярных сил, при наличии которого для насыщенности имеем нестационарное уравнение конвекции-диффузии. Поскольку данный процесс характеризуется существенным преобладанием конвективного слагаемого в уравнении для насыщенности, используются противопотоковые аппроксимации посредством добавления неоднородной искусственной диффузии. Скорость и давление аппроксимируются с использованием смешанного метода конечных элементов. Представлены результаты численных расчетов для двумерного случая с сильно неоднородными коэффициентами проницаемости пористой среды. Рассмотрены несколько случаев, связанных с линейными и нелинейными коэффициентами относительной проницаемости флюида и наличием капиллярных сил.

We consider the process of filtration of a two-phase fluid in a porous, heterogeneous medium. This process is described by a coupled system of equations for saturation, filtration rate, and pore pressure. We consider mathematical models with and without capillary forces, in the presence of which, for saturation, we have a nonstationary convection-diffusion equation. Since this process is characterized by a significant predominance of the convective term in the equation for saturation, countercurrent approximations are used by adding non-uniform artificial diffusion. Speed and pressure are approximated using a mixed finite element method. The results of numerical calculations for a two-dimensional case with strongly heterogeneous permeability coefficients of a porous medium are presented. Several cases of relative fluid permeability associated with linear and nonlinear coefficients and the presence of capillary forces are considered.

пористая средадвухфазная фильтрацияметод конечных элементовметод Гал¨еркиначисленное моделированиеporous mediumtwo fasefiltrationfinite elements methodGalerkin methodnumerical simulationРабота выполнена за счет Российского научного фонда, грант № 17–71–20055.The work was supported by the grant from the Russian Scientific Foundation (code 17–71– 20055).ReferencesAziz K., Settari A. Petroleum reservoir simulation. Applied Sci. Publ., 1979.Aziz K., Settari A. Petroleum reservoir simulation. Applied Sci. Publ., 1979.Bear J. Dynamics of fluids in porous media. Dover Publ., 1988.Bear J. Dynamics of fluids in porous media. Dover Publ., 1988.Chen Z., Huan G., Ma Y. Computational methods for multiphase flows in porous media. Society for Industrial Mathematics, 2006.Chen Z., Huan G., Ma Y. Computational methods for multiphase flows in porous media. Society for Industrial Mathematics, 2006.Афанасьева Н. М., Васильева М. В., Захаров П. Е. Параллельное численное моделирование процесса заводнения нефтяного месторождения // Мат. заметки СВФУ. 2011. Т. 18, вып. 1. С. 159–172.Афанасьева Н. М., Васильева М. В., Захаров П. Е. Параллельное численное моделирование процесса заводнения нефтяного месторождения // Мат. заметки СВФУ. 2011. Т. 18, вып. 1. С. 159–172.Васильева М. В., Васильев В. И., Тимофеева Т. С. Численное решение методом конечных элементов задач диффузионного и конвективного переноса в сильно гетерогенных пористых средах // Уч. зап. Казан. ун-та. Сер. Физико-математические науки. 2016. Т. 158, № 2. С. 243–261.Васильева М. В., Васильев В. И., Тимофеева Т. С. Численное решение методом конечных элементов задач диффузионного и конвективного переноса в сильно гетерогенных пористых средах // Уч. зап. Казан. ун-та. Сер. Физико-математические науки. 2016. Т. 158, № 2. С. 243–261.Васильев В. И., Васильева М. В., Никифоров Д. Я. Решение задач однофазной фильтрации методом конечных элементов на вычислительном кластере // Вестн. СевероВосточн. федерал. ун-та им. М. К. Аммосова. 2016. № 6. С. 8–17.Васильев В. И., Васильева М. В., Никифоров Д. Я. Решение задач однофазной фильтрации методом конечных элементов на вычислительном кластере // Вестн. СевероВосточн. федерал. ун-та им. М. К. Аммосова. 2016. № 6. С. 8–17.Akkutlu I. Y., Efendiev Y., Vasilyeva M., Wang Y. Multiscale model reduction for transport and flow problems in perforated domains. Multiscale model reduction for shale gas transport in poroelastic fractured media // J. Comput. Physics. 2018. V 353. P. 356–376.Akkutlu I. Y., Efendiev Y., Vasilyeva M., Wang Y. Multiscale model reduction for transport and flow problems in perforated domains. Multiscale model reduction for shale gas transport in poroelastic fractured media // J. Comput. Physics. 2018. V 353. P. 356–376.Васильев В. И., Попов В. В., Тимофеева Т. С. Вычислительные методы в разработке месторождений нефти и газа. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000.Васильев В. И., Попов В. В., Тимофеева Т. С. Вычислительные методы в разработке месторождений нефти и газа. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000.Вабищевич П. Н. Явно-неявные вычислительные алгоритмы для задач многофазной фильтрации // Мат. моделирование. 2010. Т. 22, № 4. С. 118–128.Вабищевич П. Н. Явно-неявные вычислительные алгоритмы для задач многофазной фильтрации // Мат. моделирование. 2010. Т. 22, № 4. С. 118–128.Vabishchevich P. N., Vasil’eva M. Iterative solution of the pressure problem for the multiphase filtration // Math. Modell. Anal. 2012. V. 17, N 4. P. 532–549.Vabishchevich P. N., Vasil’eva M. Iterative solution of the pressure problem for the multiphase filtration // Math. Modell. Anal. 2012. V. 17, N 4. P. 532–549.Васильева М. В. Численное моделирование фильтрации на многопроцессорных системах // Мат. заметки ЯГУ. 2010. Т. 17, вып. 2. С. 105–112.Васильева М. В. Численное моделирование фильтрации на многопроцессорных системах // Мат. заметки ЯГУ. 2010. Т. 17, вып. 2. С. 105–112.Афанасьева Н. М., Васильева М. В., Захаров П. Е. Параллельное численное моделирование процесса заводнения нефтяного месторождения // Мат. заметки ЯГУ. 2011. Т. 18, вып. 1. С. 159–172.Афанасьева Н. М., Васильева М. В., Захаров П. Е. Параллельное численное моделирование процесса заводнения нефтяного месторождения // Мат. заметки ЯГУ. 2011. Т. 18, вып. 1. С. 159–172.Chung E. T., Leung W. T., Vasilyeva M. Mixed GMsFEM for second order elliptic problem in perforated domains // J. Comput. Appl. Math. 2016. V. 304. P. 84–99.Chung E. T., Leung W. T., Vasilyeva M. Mixed GMsFEM for second order elliptic problem in perforated domains // J. Comput. Appl. Math. 2016. V. 304. P. 84–99.Brezzi F., Fortin M. Mixed and hybrid finite element methods. Berlin: Springer-Verl., 1991.Brezzi F., Fortin M. Mixed and hybrid finite element methods. Berlin: Springer-Verl., 1991.Raviart P. A., Thomas J. M. A mixed finite element method for 2-nd order elliptic problems // Mathematical aspects of finite element methods. Berlin; Heidelberg: Springer-Verl., 1977. P. 292–315.Raviart P. A., Thomas J. M. A mixed finite element method for 2-nd order elliptic problems // Mathematical aspects of finite element methods. Berlin; Heidelberg: Springer-Verl., 1977. P. 292–315.Carstensen C. A posteriori error estimate for the mixed finite element method // Math. Comput. Amer. Math. Soc. 1997. V. 66, N 218. С. 465–476.Carstensen C. A posteriori error estimate for the mixed finite element method // Math. Comput. Amer. Math. Soc. 1997. V. 66, N 218. С. 465–476.Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузии. М.: Едиториал УРСС, 2004.Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузии. М.: Едиториал УРСС, 2004.Donea J. Huerta A. Finite element methods for flow problems. Chichester: John Wiley & Sons Ltd, 2003.Donea J. Huerta A. Finite element methods for flow problems. Chichester: John Wiley & Sons Ltd, 2003.Brooks A. N. A Petrov–Galerkin finite element formulation for convection dominated flows: PhD Thes. California Institute of Technology, 1981.Brooks A. N. A Petrov–Galerkin finite element formulation for convection dominated flows: PhD Thes. California Institute of Technology, 1981.Алексеев В. Н., Васильева М. В., Степанов С. П. Итерационные методы решения для задачи течения и переноса в перфорированных областях // Вестн. Северо-Восточн. федерал. ун-та им. М. К. Аммосова. 2016. № 5. С. 67–79.Алексеев В. Н., Васильева М. В., Степанов С. П. Итерационные методы решения для задачи течения и переноса в перфорированных областях // Вестн. Северо-Восточн. федерал. ун-та им. М. К. Аммосова. 2016. № 5. С. 67–79.Christie M. A., M. J. Blunt. Tenth SPE comparative solution project: A comparison of upscaling techniques / SPE Reservoir Simulation Symposium. Society of Petroleum Engineers, 2001.Christie M. A., M. J. Blunt. Tenth SPE comparative solution project: A comparison of upscaling techniques / SPE Reservoir Simulation Symposium. Society of Petroleum Engineers, 2001.Logg A., Mardal K.-A., Wells G. N. Automated solution of differential equations by the finite element method. The FEniCS Book. 2011.Logg A., Mardal K.-A., Wells G. N. Automated solution of differential equations by the finite element method. The FEniCS Book. 2011.Software GMSH. (http://geuz.org/gmsh/).Software GMSH. (http://geuz.org/gmsh/).Software package PARAVIEW. (http://www.paraview.org/).Software package PARAVIEW. (http://www.paraview.org/).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.