matmessМатематические заметки СВФУMathematical notes of NEFU2411-93262587-876XСеверо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосова10.25587/2411-9326-2026-2-21-37matmess-328Research ArticleМАТЕМАТИКАО спектральных свойствах одного класса эллиптических операторов с несогласованным вырождениемOn some spectral properties of one class of elliptic operators with inconsistent degeneracyГадоевМ. Г.GadoevM. G.

Гадоев Махмадрахим Гафурович

ул. Тихонова, 5/1, г. Мирный 678174, Якутия

Makhmadrakhim G. Gadoev

5/1 Tikhonov Street, Mirny 678174, Yakutia

Gadoev@rambler.ruКонстантиноваТ. П.KonstantinovaT. P.

 Константинова Туйаара Петровна

ул. Тихонова, 5/1, г. Мирный 678174, Якутия

Tuyaara P. Konstantinova

5/1 Tikhonov Street, Mirny 678174, Yakutia

konct-tua@mail.ruВасильеваА. В.VasilievaA. V.

Васильева Анастасия Валерьевна

ул. Тихонова, 5/1, г. Мирный 678174, Якутия

Anastasia V. Vasilieva

5/1 Tikhonov Street, Mirny 678174, Yakutia

AV.VASILEVA@s-vfu.ruПолитехнический институт (филиал) СВФУ им. М. К. Аммосова в г. МирномРоссияNorth-Eastern Federal University, Mirny Polytechnic Institute (branch)Russian Federation2026100620263322137Copyright © Гадоев М.Г., Константинова Т.П., Васильева А.В., 20262026Гадоев М.Г., Константинова Т.П., Васильева А.В.Gadoev M.G., Konstantinova T.P., Vasilieva A.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://matmess.elpub.ru/jour/article/view/328

Изучаются спектральные свойства одного класса эллиптических дифференциальных операторов высшего порядка в ограниченной области, коэффициенты которых имеют несогласованное степенное вырождение вдоль всей границы области. Полуторалинейная форма, связанная с исследуемым оператором, может не удовлетворять условию коэрцитивности. Она представляется в виде конечной суммы вспомогательных форм, и среди них выделяются старшие формы. Применением теорем вложения для пространств дифференцируемых функций многих вещественных переменных со степенными весами доказывается, что только вырождения коэффициентов старших форм влияют на область определения рассматриваемого эллиптического оператора. Установлена полнота и суммируемость в смысле Абеля — Лидского системы корневых функций исследуемого оператора.

This paper studies some spectral properties of one class of higher-order elliptic differential operators in a bounded domain whose coefficients exhibit inconsistent power-law degeneracy along the entire boundary of the domain. The sesquilinear form associated with the operator under study may fail to satisfy the coercivity condition. It is represented as a finite sum of auxiliary forms, and the highest forms are distinguished among them. By applying embedding theorems to spaces of differentiable functions of several real variables with power-law weights, it is proved that only the degeneracies of the coefficients of the highest forms affect the domain of the elliptic operator under consideration. Completeness and summability in the Abel–Lidskii sense of the system of root functions of the operator under study are established.

эллиптический операторстепенное вырождениенекоэрцитивная форманесогласованное вырождениеограниченная областьбазисность по Абелюelliptic operatorpower degenerationnon-coercive formnon-consistent degenerationbounded domainAbel basis propertyReferencesГадоев М. Г., Исхоков Дж. С. Об одном классе вырождающихся эллиптических операторов в ограниченной области, порожденных некоэрцитивными формами // Докл. НАН РТ. 2019. Т. 62. № 7–8. С. 397-403.Gadoev M. G. and Iskhokov J. S., “On a class of degenerate elliptic operators in a bounded domain generated by noncoercive forms [in Russian],” Dokl. Nat. Acad. Sci. Rep. Tajikistan, 62, No. 7-8, 397–403 (2019).Гадоев М. Г., Исхоков Дж. С. О распределении собственных значений несамосопряженных эллиптических операторов в ограниченной области с несогласованным вырождением // Докл. НАН РТ. 2020. Т. 63, № 7–8. С. 441-449.Gadoev M. G. and Iskhokov J. S., “On the distribution of eigenvalues of nonselfadjoint elliptic operators in a bounded domain with noncoordinated degeneration [in Russian],” Dokl. Nat. Acad. Sci. Rep. Tajikistan, 63, No. 7-8, 441–449 (2020).Никольский С. М. Вариационная проблема для уравнения эллиптического типа с вырождением на границе // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. 1979. Т. 150. С. 212–238.Nikol’skii S. M., “A variational problem for an elliptic-type equation with degeneration on the boundary [in Russian],” Proc. Steklov Inst. Math., 150, 212–238 (1979).Лизоркин П. И., Никольский С. М. Коэрцитивные свойства эллиптического уравнения с вырождением. Вариационный метод // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. 1981. Т. 157. С. 90–118.Lizorkin P. I. and Nikol’skii S. M., “Coercive properties of an elliptic equation with degeneration. Variational method [in Russian],” Proc. Steklov Inst. Math., bf 157, 90–118 (1981).Лизоркин П. И., Никольский С. М. Коэрцитивные свойства эллиптического уравнения с вырождением и обобщенной правой частью // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. 1983. Т. 161. С. 157–183.Lizorkin P. I. and Nikol’skii S. M., “Coercive properties of an elliptic equation with degeneration and a generalized right-hand side [in Russian],” Proc. Steklov Inst. Math., 161, 157–183 (1983).Лизоркин П. И. К теории вырождающихся эллиптических уравнений // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. 1985. Т. 172. С. 235–271.Lizorkin P. I., “On the theory of degenerate elliptic equations [in Russian],” Proc. Steklov Inst. Math., 172, 235–271 (1985).Никольский С. М., Лизоркин П. И., Мирошин Н. В. Весовые функциональные пространства и их приложения к исследованию краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений // Изв. вузов. Математика. 1988. №8. С. 4–30.Nikol’skii S. M., Lizorkin P. I., and Miroshin N. V., “Weighted functional spaces and their applications to the study of boundary value problems for degenerate elliptic equations [in Russian],” Izv. Vuzov, Mat., 8, 4–30 (1988).Исхоков С. А., Кужмуратов А. Я. О вариационной задаче Дирихле для вырождающихся эллиптических операторов // Докл. АН. 2005. Т. 403, № 2. С. 165–168.Iskhokov S. A. and Kuzhmuratov A. Ya., “On the variational Dirichlet problem for degenerate elliptic operators,” Dokl. Akad. Nauk, 403, No. 2, 165–168 (2005).Бойматов К. Х. Обобщенная задача Дирихле, порожденная некоэрцитивной формой // Докл. АН. 1993. Т. 330, № 3. С. 285–290.Boimatov K. Kh., “Generalized Dirichlet problem generated by a noncoercive form [in Russian],” Dokl. Akad. Nauk, 330, No. 3, 285–290(1993).Исхоков С. А. О гладкости решений обобщенной задачи Дирихле и задачи на собственные значения для дифференциальных операторов, порожденных некоэрцитивными билинейными формами // Докл. АН. 1995. Т. 342, № 1. С. 20–22.Iskhokov S. A., “On the smoothness of solutions of the generalized Dirichlet problem and the eigenvalue problem for differential operators generated by noncoercive bilinear forms [in Russian],” Dokl. Akad. Nauk, 342, No. 1, 20–22 (1995).Бойматов К. Х., Исхоков С. А. О разрешимости и спектральных свойствах вариационной задачи Дирихле, связанной с некоэрцитивной билинейной формой // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. 1997. Т. 214. С. 107–134.Boimatov K. Kh. and Iskhokov S. A., “On the solvability and spectral properties of the variational Dirichlet problem associated with a noncoercive bilinear form [in Russian],” Proc. Steklov Inst. Math., 214, 107–134 (1997).Исхоков С. А., Гадоев М. Г., Константинова Т. П. Вариационная задача Дирихле для вырождающихся эллиптических операторов, порожденных некоэрцитивными формами // Докл. АН. 2015. Т. 462, № 1. С. 7–10.Iskhokov S. A., Gadoev M. G., and Konstantinova T. P., “Variational Dirichlet problem for degenerate elliptic operators generated by noncoercive forms [in Russian],” Dokl. Akad. Nauk, 462, No. 1, 7–10 (2015).Мирошин Н. В. Обобщенная задача Дирихле для одного класса эллиптических дифференциальных операторов, вырождающихся на границе области. Некоторые спектральные свойства // Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12, № 6. С. 1099–1111.Miroshin N. V., “Generalized Dirichlet problem for a class of elliptic differential operators degenerating on the boundary of the domain. Some spectral properties [in Russian],” Differ. Equ., 12 No. 6, 1099–1111 (1976).Исхоков С. А., Якушев И. А. О разрешимости вариационной задачи Дирихле для одного класса вырождающихся эллиптических операторов // Чебышев. сб. 2018. Т. 19, № 3. С. 164–182.Iskhokov S. A. and Yakushev I. A., “On the solvability of the variational Dirichlet problem for a class of degenerate elliptic operators [in Russian],” Chebyshevskii Sb., 19, No. 3, 164–182 (2018).Бойматов К. Х. О базисности по Абелю системы корневых вектор-функций вырожденноэллиптических дифференциальных операторов с сингулярными матричными коэффициентами // Сиб. мат. журн. 2006. Т. 47, № 1. С. 46–57.Boimatov K. Kh., “On the Abel basis property of the system of root vector-functions of degenerate-elliptic differential operators with singular matrix coefficients,” Sib. Math. J., 47, No. 1, 46–57 (2006).Кудрявцев Л. Д., Никольский С. М. Пространства дифференцируемых функций многих переменных и теоремы вложения // Анализ-3. Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 26. М.: ВИНИТИ, 1988. С. 5– 157.Kudryavtsev L. D. and Nikol’skii S. M., “Spaces of differentiable functions of several variables and embedding theorems [in Russian],” in: Analysis-3, Itogi Nauki i Tekhniki, Sovremen. Problemy Matematiki, Fundament. Napravl., vol. 26, pp. 5–157, VINITI, Moscow (1988).Бойматов К. Х. Некоторые спектральные свойства матричных дифференциальных операторов, далеких от самосопряженных // Функцион. анализ и его прил. 1995. Т. 29, № 3. C. 55–58.Boimatov K. Kh., “Some spectral properties of matrix differential operators far from selfadjoint [in Russian],” Funct. Anal. Appl., 29, No. 3, 55–58 (1995).Агранович М. С. Эллиптические операторы на замкнутых многообразиях // Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 63. М.: ВИНИТИ, 1990. С. 5–129.Agranovich M. S., “Elliptic operators on closed manifolds [in Russian],” in: Itogi Nauki i Tekhniki, Sovremen. Problemy Matematiki, Fundament. Napravl., 63, 5–129 (1990).Лидский В. Б. О суммируемости рядов по главным векторам несамосопряженных операторов // Тр. Моск. мат. о-ва. 1962. Т. 11. С. 3–35.Lidskii V. B., “On the summability of series in principal vectors of nonselfadjoint operators [in Russian],” Trans. Moscow Math. Soc., 11, 3–35 (1962).Бойматов К. Х. О спектральной асимптотике и суммируемости методом Абеля рядов по системе корневых вектор-функций негладких эллиптических дифференциальных операторов, далеких от самосопряженных // Докл. АН. 2000. Т. 372, № 4. С. 442–445.Boimatov K. Kh., “On spectral asymptotics and Abel summability of series in the system of root vector-functions of nonsmooth elliptic differential operators far from selfadjoint [in Russian],” Dokl. Akad. Nauk, 372, No. 4, 442–445 (2000).Sango M. A spectral problem with anindefnite weight for an elliptic system // Electron. J. Difer. Equ. 1997. V. 21. P. 1–14.Sango M., “A spectral problem with an indefinite weight for an elliptic system,” Electron. J. Differ. Equ., 21, 1–14 (1997).Yakubov S. Abel basis of root functions of regular boundary value problems // Math. Nachr. 1999. V. 197. P. 157–187.Yakubov S., “Abel basis of root functions of regular boundary value problems,” Math. Nachr., 197, 157–187 (1999).Pyatkov S. G. Riesz′ s bases from the eigenvectors and associated vectors of elliptic eigenvalue problems with an indefinit eweight function // Sib. J. Differ. Equ. 1995. V. 1, N 2. P.179–196.Pyatkov S. G., “Riesz bases formed by eigenvectors and associated vectors of elliptic eigenvalue problems with an indefinite weight function,” Sib. J. Differ. Equ., 1, No. 2, 179–196 (1995).Агранович М. С. О рядах по корневым векторам операторов, определяемых формами с самосопряженной главной частью // Функцион. анализ и его прил. 1994. Т. 28, № 3. С. 1–21.Agranovich M. S., “On series in root vectors of operators defined by forms with selfadjoint principal part [in Russian],” Funct. Anal. Appl., 28, No. 3, 1–21 (1994).Agranovich M. S. Nonselfadjoint elliptic operators in nonsmooth domains // Russian J. Math. Phys. 1994. V. 2, N 2. P. 139–148.Agranovich M. S., “Nonselfadjoint elliptic operators in nonsmooth domains,” Russian J. Math. Phys., 2, No. 2, 139–148 (1994).Faierman M. An elliptic boundary problem involving an indefinite weight // Proc. R. Soc. Edinb., Ser. A. 2000. V. 130. P. 287–305.Faierman M., “An elliptic boundary problem involving an indefinite weight,” Proc. R. Soc. Edinb., Ser. A, 130, 287–305 (2000).Исхоков С. А., Гадоев М. Г., Петрова М. Н. О некоторых спектральных свойствах одного класса вырожденно-эллиптических дифференциальных операторов // Мат. заметки СВФУ. 2016. Т. 23, No 2. С. 31–50.Iskhokov S. A., Gadoev M. G., and Petrova M. N., “On some spectral properties of a class of degenerate-elliptic differential operators [in Russian],” Mat. Zamet. SVFU, 23, No. 2, 31–50 (2016).Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.Kato T., Perturbation Theory for Linear Operators [in Russian], Mir, Moscow (1972).Бойматов К. Х. Двусторонние оценки собственных значений задачи Дирихле для одного класса вырождающихся эллиптических дифференциальных операторов // Тр. Мат. инта им. В. А. Стеклова АН СССР. 1985. Т. 172. С. 16–28.Boimatov K. Kh., “Two-sided estimates of eigenvalues of the Dirichlet problem for a class of degenerate elliptic differential operators [in Russian],” Proc. Steklov Inst. Math., 172, 16–28 (1985).Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1965.Gohberg I. Ts. and Krein M. G., Introduction to the Theory of Linear Nonselfadjoint Operators in Hilbert Space [in Russian], Nauka, Moscow (1965).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.