matmessМатематические заметки СВФУMathematical notes of NEFU2411-93262587-876XСеверо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосова517.946matmess-323Research ArticleМАТЕМАТИКАКРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДВАЖДЫ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИBOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR TWICE DEGENERATE DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH MULTIPLE CHARACTERISTICSКожановА. И.KozhanovA. I.

Кожанов Александр Иванович

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Академика коптюга, 4, Новосибирск 630090 

Alexander I. Kozhanov

Sobolev Institute of Mathematics, 4 Acad. Koptyug Avenue, Novosibirsk 630090, Russia 

kozhanov@math.nsc.ruЗикировО. С.ZikirovO. S.

Зикиров Обиджон Салижанович

Национальный университет Узбекистана им. Мирзо Улугбека, кафедра дифференциальных уравнений и математической физики, ул. Университетская, 4, Вузгородок, Ташкент 100174

Obidjon S. Zikirov

Faculty of Mechanics and Mathematics, National University of Uzbekistan, 4 University Street, Vuzgorodok, Tashkent 100174, Uzbekistan 

zikirov@yandex.comИнститут математики им. С. Л. Соболева СО РАНРоссияSobolev Institute of MathematicsRussian FederationНациональный университет Узбекистана им. Мирзо УлугбекаУзбекистанNational University of UzbekistanUzbekistan2018100620262543444Copyright © Кожанов А.И., Зикиров О.С., 20262026Кожанов А.И., Зикиров О.С.Kozhanov A.I., Zikirov O.S.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://matmess.elpub.ru/jour/article/view/323

Работа посвящена исследованию разрешимости краевых задач для вырождающихся дифференциальных уравнений вида

ϕ(t)ut + (−1)mψ(t)Dx2m+1u + c(x,t)u = f(x,t)

∂k , m ≥ 1 целое, x ∈ (0,1), t ∈ (0,T), 0 < T < +∞), называемых уравнениями с кратными характеристиками. В этих уравнениях функция ϕ(t) может менять знак на отрезке [0,T] произвольным образом, функция ψ(t) предполагается неотрицательной. Для изучаемых уравнений предлагаются постановки краевых задач, существенным образом определяющиеся числами ϕ(0) и ϕ(T), и для предложенных задач доказываются теоремы существования и единственности регулярных (имеющих все обобщенные по С. Л. Соболеву производные, входящие в уравнение) решений.

We study the solvability of boundary value problems for degenerate differential equations of the form

1 is an integer, x ∈ (0,1), t ∈ (0,T), 0 < T < +∞) called equations

with multiple characteristics. In these equations, the function ϕ(t) can change the sign on the interval [0,T] arbitrarily, while the function ψ(t) is assumed nonnegative. For the equations under consideration, we propose the formulation of boundary value problems which are essentially determined by numbers ϕ(0) and ϕ(T). Existence and uniqueness theorems are proved for the regular solutions that have all Sobolev generalized derivatives entering into the equation.

дифференциальные уравнения нечетного порядкавырождениесмена направления эволюциикраевые задачирегулярные решениясуществованиеединственностьdifferential equations of odd orderdegeneracychange of direction of evolutionboundary value problemsregular solutionsexistenceuniquenessРабота А. И. Кожанова поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (код проекта 18–51–41009), работа О. С. Зикирова выполнена в рамках совместного узбекско-российского научно-исследовательского проекта MRU–0T–1/2017.ReferencesДжураев Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типа.Джураев Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типа.Ташкент: Фан, 1986.Ташкент: Фан, 1986.Абдиназаров С. Общие краевые условия для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками // Дифференц. уравнения. 1981. Т. 17, № 1. С. 1–12.Абдиназаров С. Общие краевые условия для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками // Дифференц. уравнения. 1981. Т. 17, № 1. С. 1–12.Кожанов А. И. О разрешимости нелокальной по времени задачи для одного уравнения с кратными характеристиками // Мат. заметки ЯГУ. 2001. Т. 8, вып. 2. С. 27–40.Кожанов А. И. О разрешимости нелокальной по времени задачи для одного уравнения с кратными характеристиками // Мат. заметки ЯГУ. 2001. Т. 8, вып. 2. С. 27–40.Кожанов А. И. Обратные задачи для уравнений с кратными характеристиками: случай неизвестного коэффициента, зависящего от времени // Докл. Адыгской (Черкесской) междунар. Академии Наук. 2005. Т. 8, № 1. С. 38–49.Кожанов А. И. Обратные задачи для уравнений с кратными характеристиками: случай неизвестного коэффициента, зависящего от времени // Докл. Адыгской (Черкесской) междунар. Академии Наук. 2005. Т. 8, № 1. С. 38–49.Балкизов Ж. А., Кодзоков А. Х. О представлении решений краевой задачи для неоднородного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками // Изв. КабардиноБалкарск. науч. центра РАН. 2010. № 4. С. 64–69.Балкизов Ж. А., Кодзоков А. Х. О представлении решений краевой задачи для неоднородного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками // Изв. КабардиноБалкарск. науч. центра РАН. 2010. № 4. С. 64–69.Хашимов А. Р., Тургинов А. М. О некоторых нелокальных задачах для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками // Мат. заметки СВФУ. 2014. Т. 21, № 1. С. 69–74.Хашимов А. Р., Тургинов А. М. О некоторых нелокальных задачах для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками // Мат. заметки СВФУ. 2014. Т. 21, № 1. С. 69–74.Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые явления.Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые явления.М.: Мир, 1988.М.: Мир, 1988.Бубнов Б. А. Общие краевые задачи для уравнения Кортвега — де Фриза в ограниченной области // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, № 1. С. 26–31.Бубнов Б. А. Общие краевые задачи для уравнения Кортвега — де Фриза в ограниченной области // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, № 1. С. 26–31.Хаблов В. В. О некоторых корректных постановках граничных задач для уравненияХаблов В. В. О некоторых корректных постановках граничных задач для уравненияКортвега — де Фриза. Препринт. Новосибирск: Институт математики СО АН СССР. 1979.Кортвега — де Фриза. Препринт. Новосибирск: Институт математики СО АН СССР. 1979.Kenig C. E., Ponce G., Vega L. Well-posedness of the initial value problem for the Korteveg–de Vries equation // J. Amer. Math. Soc. 1991. № 4. P.323–347.Kenig C. E., Ponce G., Vega L. Well-posedness of the initial value problem for the Korteveg–de Vries equation // J. Amer. Math. Soc. 1991. № 4. P.323–347.Larkin N. A. Korteveg–de Vries and Kuramoto–Sivashinsky equations in bounded domains //Larkin N. A. Korteveg–de Vries and Kuramoto–Sivashinsky equations in bounded domains //J. Math. Anal. Appl. 2004. V. 297. P. 169–185.J. Math. Anal. Appl. 2004. V. 297. P. 169–185.Doronin G. G., Larkin N. A. KDV equation in domain with moving boundaries // J. Math. Anal. Appl. 2007. V. 328. P. 503–515.Doronin G. G., Larkin N. A. KDV equation in domain with moving boundaries // J. Math. Anal. Appl. 2007. V. 328. P. 503–515.Larkin N. A., Luchesi J. General mixed problems for the KDV equations on bounded intervals // Electron. J. Differ. Equ. 2010. V. 2010, N 168. P 1–17.Larkin N. A., Luchesi J. General mixed problems for the KDV equations on bounded intervals // Electron. J. Differ. Equ. 2010. V. 2010, N 168. P 1–17.Лукина Г. А. Краевые задачи с интегральными граничными условиями для линеаризованного уравнения Кортевега — де Фриза // Вестн. Южно-Урал. гос. ун-та. Сер. Математическое моделирование и программирование. 2011. Вып. 8, № 17. С. 53–62.Лукина Г. А. Краевые задачи с интегральными граничными условиями для линеаризованного уравнения Кортевега — де Фриза // Вестн. Южно-Урал. гос. ун-та. Сер. Математическое моделирование и программирование. 2011. Вып. 8, № 17. С. 53–62.Faminskii A. V., Larkin N. A. Initial-boundary value problems for quasilinear dispersive equations posed in a bounded interval // Electron. J. Differ. Equ. 2010. V. 2010, N 1. P 1–20.Faminskii A. V., Larkin N. A. Initial-boundary value problems for quasilinear dispersive equations posed in a bounded interval // Electron. J. Differ. Equ. 2010. V. 2010, N 1. P 1–20.Кожанов А. И., Лукина Г. А. Нелокальные краевые задачи с частично интегральными условиями для дважды вырождающихся дифференциальных уравнений с кратными характеристиками // Сиб. журн. чистой и прикл. математики. 2017. Т. 17, № 3. С. 37–52.Кожанов А. И., Лукина Г. А. Нелокальные краевые задачи с частично интегральными условиями для дважды вырождающихся дифференциальных уравнений с кратными характеристиками // Сиб. журн. чистой и прикл. математики. 2017. Т. 17, № 3. С. 37–52.Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975.Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975.Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.