matmessМатематические заметки СВФУMathematical notes of NEFU2411-93262587-876XСеверо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосова10.25587/SVFU.2018.99.16949matmess-316Research ArticleМАТЕМАТИКАПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЛЬЕНАРА – ШИПАРА К РЕШЕНИЮ ОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ТИПА ЭЙЛЕРА ДРОБНОГО ПОРЯДКА НА ИНТЕРВАЛЕAPPLYING LIENARD–SCHIPAR’S METHOD TO SOLVING OF HOMOGENEOUS FRACTIONAL DIFFERENTIAL EULER–TYPE EQUATIONS ON AN INTERVALЖуковскаяН. В.ZhukovskayaN. V.

Жуковская Наталья Владимировна

Белорусский гос. университет, пр. Независимости, 4, Минск 220030, Республика Беларусь 

Natalia V. Zhukovskaya

Belarusian State University, 4 Nezavisimost Avenue, Minsk 220030, Belarus 

wwugazi@gmail.comСитникС. М.SitnikS. M.

Ситник Сергей Михайлович

Белгородский гос. национальный исследовательский университет, кафедра дифференциальных уравнений, ул. Победы, 85, Белгород 308015 

Sergey M. Sitnik

Belgorod State National Research University, 85 Pobeda Street, Belgorod 308015, Russia 

sitnik@bsu.edu.ruБелорусский гос. университетБеларусьBelarusian State UniversityBelarusБелгородский гос. национальный исследовательский университетРоссияBelgorod State National Research UniversityRussian Federation2018030620262533342Copyright © Жуковская Н.В., Ситник С.М., 20262026Жуковская Н.В., Ситник С.М.Zhukovskaya N.V., Sitnik S.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://matmess.elpub.ru/jour/article/view/316

Получено решение однородного дифференциального уравнения дробного порядка типа Эйлера на интервале в классе функций, представимых дробным интегралом порядка α с плотностью из L1(0;1). С помощью метода эрмитовых форм (метода Льенара — Шипара) получены условия разрешимости для случаев двух, трех и любого конечного числа производных. Показано, что в случае, когда характеристическое уравнение имеет кратные корни, исходное уравнение допускает решение с логарифмическими особенностями.

We present the solution of the homogeneous fractional differential Euler-type equation on the half-axis in the class of functions representable by the fractional integral of order α with the density of L1(0;1). Using the method of Hermitian forms (Lienard– Schipar’s method), solvability conditions are obtained for the cases of two, three and a finite number of derivatives. It is shown that in the case when the characteristic equation has multiple roots original equation admits a solution with logarithmic singularities.

дифференциальное уравнение типа Эйлерадробный интеграл Римана — Лиувиллядробная производная Римана — Лиувилляметод эрмитовых формтеорема Эрмитаметод Льенара — Шипараfractional differential Euler-type equationRiemann–Liouville fractional integralRiemann–Liouville fractional derivativemethod of Hermitian formsHermite’s theoremLienard–Schipar’s methodReferencesKilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and applications of fractional differential equations. Amsterdam: Elsevier, 2006. (Mathematics Studies; V. 204).Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and applications of fractional differential equations. Amsterdam: Elsevier, 2006. (Mathematics Studies; V. 204).Podlubny I. Fractional differential equations. San-Diego: Acad. Press, 1999.Podlubny I. Fractional differential equations. San-Diego: Acad. Press, 1999.Samko S. G., Kilbas A. A., Marichev O. I. Fractional integrals and derivatives: theory and applications. Switzerland: Gordon and Breach Sci. Publ., 1993.Samko S. G., Kilbas A. A., Marichev O. I. Fractional integrals and derivatives: theory and applications. Switzerland: Gordon and Breach Sci. Publ., 1993.Krein M. G., Naimark M. A. The method of symmetric and Hermitian forms in the theory of separation of the roots of algebraic equations // Linear and Multilinear Algebra. 1981. V. 10, N 4. P. 265–308. Published online: 02 Apr 2008 DOI: 10.1080/03081088108817420.Krein M. G., Naimark M. A. The method of symmetric and Hermitian forms in the theory of separation of the roots of algebraic equations // Linear and Multilinear Algebra. 1981. V. 10, N 4. P. 265–308. Published online: 02 Apr 2008 DOI: 10.1080/03081088108817420.Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1967.Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1967.Bateman H., Erdelyi A. Higher transcendental functions. McGraw–Hill, 1953. V. 1.Bateman H., Erdelyi A. Higher transcendental functions. McGraw–Hill, 1953. V. 1.Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М: Наука, 1988.Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М: Наука, 1988.Постников М. М. Устойчивые многочлены. М.: Наука, 1981.Постников М. М. Устойчивые многочлены. М.: Наука, 1981.Sitnik S. M. Transmutations and applications: a survey. preprint arXiv:1012.3741. 2010. 141 P.Sitnik S. M. Transmutations and applications: a survey. preprint arXiv:1012.3741. 2010. 141 P.Катрахов В. В., Ситник С. М. Метод операторов преобразования и краевые задачи для сингулярных эллиптических уравнений // Современная математика. Фундаментальные направления. 2018. Т. 64, № 2. С. 211–426.Катрахов В. В., Ситник С. М. Метод операторов преобразования и краевые задачи для сингулярных эллиптических уравнений // Современная математика. Фундаментальные направления. 2018. Т. 64, № 2. С. 211–426.Ситник С. М., Шишкина Э. Л. Метод операторов преобразования для дифференциальных уравнений с операторами Бесселя. М.: Физматлит, 2018.Ситник С. М., Шишкина Э. Л. Метод операторов преобразования для дифференциальных уравнений с операторами Бесселя. М.: Физматлит, 2018.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.