matmessМатематические заметки СВФУMathematical notes of NEFU2411-93262587-876XСеверо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосова10.25587/SVFU.2018.99.16948matmess-315Research ArticleМАТЕМАТИКААНАЛИЗ УРАВНЕНИЙ СМО СО СКАЧКООБРАЗНОЙ ИНТЕНСИВНОСТЬЮ ВХОДНОГО ПОТОКАANALYSIS OF A QUEUING SYSTEM EQUATIONS WITH A JUMP INTENSITY OF INPUT STREAMБондроваО. В.BondrovaO. V.

Бондрова Олеся Васильевна,             

Дальневосточный федеральный университет, ул. Суханова 8, Владивосток 690091

Olesya V. Bondrova,                   

Far Eastern Federal University, 8 Sukhanova Street, Vladivostok 690091, Russia

bondrova.ov@dvfu.ruЖукТ. А.ZhukT. A.

Жук Татьяна Алексеевна,

Дальневосточный федеральный университет, ул. Суханова 8, Владивосток 690091

Tatyana A. Zhuk, 

Far Eastern Federal University, 8 Sukhanova Street, Vladivostok 690091, Russia

Tatyana_zhukdv@mail.ruГоловкоН. И.GolovkoN. I.

Головко Николай Иванович,

Дальневосточный федеральный университет, ул. Суханова 8, Владивосток 690091

Nikolay I. Golovko

Far Eastern Federal University, 8 Sukhanova Street, Vladivostok 690091, Russia

golovko.ni@dvfu.ruДальневосточный федеральный университетРоссияFar Eastern Federal UniversityRussian Federation2018030620262531832Copyright © Бондрова О.В., Жук Т.А., Головко Н.И., 20262026Бондрова О.В., Жук Т.А., Головко Н.И.Bondrova O.V., Zhuk T.A., Golovko N.I.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://matmess.elpub.ru/jour/article/view/315

Исследуется стационарный режим системы массового обслуживания (СМО) с бесконечным накопителем, одним обслуживающим прибором и экспоненциальным обслуживанием. На вход СМО поступает дважды стохастический пуассоновский поток, интенсивность которого является скачкообразным процессом с интервалами постоянства, распределенными по экспоненциальному закону. Предполагается, что значения интенсивности входного потока в точках разрыва слева и справа независимы.

В работах, ранее опубликованных по данной тематике, получено достаточное условие существования и единственности стационарного режима СМО. В данной работе выполнен операторный анализ интегральных уравнений относительно характеристик стационарной СМО, показано необходимое и достаточное условие существования, единственности и неотрицательности решения системы интегральных уравнений, эргодичности СМО. Найдена стационарная производящая функция решения в виде сходящегося ряда.

Отличительной особенностью настоящей работы является построение 2-й модели СМО и применение оператора сдвига коэффициентов производящей функции для стационарного распределения числа заявок.

We consider the queuing system (QS) with an infinite storage, one service device and exponential service. At the input of QS comes double stochastic Poisson flow whose intensity is a jump-like process with intervals of constancy distributed according to the exponential law. It is assumed that the input flow intensity values at the break points on the left and right are independent.

In the earlier published works a sufficient condition of existence and uniqueness of the QS stationary regime was obtained. In this paper, the operator analysis of integral equations is performed with respect to the characteristics of the stationary SMO, the necessary condition of existence of the system of integral equations solution is obtained and the existence and uniqueness of the solution is proved. A stationary generating function of the solution in the form of a convergent series is found.

A distinctive feature of this work is the construction of the 2nd model of QS and the use of the shift operator of coefficients of the generating function for stationary distribution of the customers number.

скачкообразный процессдважды стохастический пуассоновский потоксистема массового обслуживанияметод производящих функцийjump-like processdouble stochastic Poisson streamqueuing systemgenerating functions methodReferencesPurdue P. The M/M/1 queue in a Markovian environment // Oper. Res. 1974. V. 22. Р. 562–569.Purdue P. The M/M/1 queue in a Markovian environment // Oper. Res. 1974. V. 22. Р. 562–569.Горцев А. М., Назаров А. А., Терпугов А. Ф. Управление и адаптация в системах массового обслуживания. Томск. Изд-во Том. ун-та, 1978.Горцев А. М., Назаров А. А., Терпугов А. Ф. Управление и адаптация в системах массового обслуживания. Томск. Изд-во Том. ун-та, 1978.Zhu Y. A Markov-modulated M/M/1 queue with group arrivals // Queueing Syst. 1991. V. 8. P. 255–264.Zhu Y. A Markov-modulated M/M/1 queue with group arrivals // Queueing Syst. 1991. V. 8. P. 255–264.Таташев А. Г. Система массового обслуживания с переменной интенсивностью входного потока // Автоматика и телемеханика. 1995. № 12. С. 78–84.Таташев А. Г. Система массового обслуживания с переменной интенсивностью входного потока // Автоматика и телемеханика. 1995. № 12. С. 78–84.Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. М: Физматгиз, 1961.Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. М: Физматгиз, 1961.Гихман И. И., Скороход А. В. Теория случайных процессов. М: Наука, 1973.Гихман И. И., Скороход А. В. Теория случайных процессов. М: Наука, 1973.Головко Н. И., Коротаев И. А. Время задержки сообщения в узле сети при переменной интенсивности входящего потока // Автоматика и телемеханика. 1989. № 2. С. 36–39.Головко Н. И., Коротаев И. А. Время задержки сообщения в узле сети при переменной интенсивности входящего потока // Автоматика и телемеханика. 1989. № 2. С. 36–39.Головко Н. И., Коротаев И. А. Системы массового обслуживания со случайно изменяющейся интенсивностью входящего потока // Автоматика и телемеханика. 1990. № 7. C. 80–85.Головко Н. И., Коротаев И. А. Системы массового обслуживания со случайно изменяющейся интенсивностью входящего потока // Автоматика и телемеханика. 1990. № 7. C. 80–85.Головко Н. И., Филинова Н. А. Матричный анализ систем массового обслуживания с конечным накопителем при скачкообразной интенсивности входного потока // Автоматика и телемеханика. 2000. № 9. C. 73–83.Головко Н. И., Филинова Н. А. Матричный анализ систем массового обслуживания с конечным накопителем при скачкообразной интенсивности входного потока // Автоматика и телемеханика. 2000. № 9. C. 73–83.Головко Н. И., Катрахов В. В., Писаренко Т. А. Краевые задачи в стационарных системах массового обслуживания с диффузионной интенсивностью входного потока // Дифференц. уравнения. 2002. № 3. C. 305–312.Головко Н. И., Катрахов В. В., Писаренко Т. А. Краевые задачи в стационарных системах массового обслуживания с диффузионной интенсивностью входного потока // Дифференц. уравнения. 2002. № 3. C. 305–312.Головко Н. И., Каретник В. О., Танин В. Е., Сафонюк И. И. Исследование моделей систем массового обслуживания в информационных сетях // Сиб. журн. индустр. математики. 2008. Т. 2. № 34. С. 50–64.Головко Н. И., Каретник В. О., Танин В. Е., Сафонюк И. И. Исследование моделей систем массового обслуживания в информационных сетях // Сиб. журн. индустр. математики. 2008. Т. 2. № 34. С. 50–64.Головко Н. И., Каретник В.O., Пелешок О. В. СМО с бесконечным накопителем и скачкообразной интенсивностью входного потока // Автоматика и телемеханика. 2009. № 3. C. 131–143.Головко Н. И., Каретник В.O., Пелешок О. В. СМО с бесконечным накопителем и скачкообразной интенсивностью входного потока // Автоматика и телемеханика. 2009. № 3. C. 131–143.Бондрова О. В., Головко Н. И., Жук Т. А. Вывод уравнений типа Колмогорова — Чепмена с интегральным оператором // Дальневост. мат. журн. 2017. № 2. C. 135–146.Бондрова О. В., Головко Н. И., Жук Т. А. Вывод уравнений типа Колмогорова — Чепмена с интегральным оператором // Дальневост. мат. журн. 2017. № 2. C. 135–146.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.