matmessМатематические заметки СВФУMathematical notes of NEFU2411-93262587-876XСеверо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосова10.25587/SVFU.2018.1.12769matmess-299Research ArticleМАТЕМАТИКАЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕННОГО ПОРЯДКА В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕTHE CAUCHY PROBLEM FOR DISTRIBUTED ORDER EQUATIONS IN BANACH SPACESСтрелецкаяЕ. М.StreletskayaE. M.

Стрелецкая Елизавета Михайловна

Челябинский гос. университет, кафедра математического анализа, ул. Братьев Кашириных, 129, Челябинск 454001 

Elizaveta M. Streletskaya

Chelyabinsk State University, 129 Kashirin Brothers Street, Chelyabinsk, Russia 454001

wwugazi@gmail.comФедоровВ. Е.FedorovV. E.

Федоров Владимир Евгеньевич

Челябинский гос. университет, кафедра математического анализа, ул. Братьев Кашириных, 129, Челябинск 454001;

Шадринский гос. педагогический университет, кафедра физико-математического и информационно-технологического образования, ул. Карла Либкнехта, 3, Курганская область, г. Шадринск 641870;

Южно-Уральский гос. университет (национальный исследовательский университет), лаборатория функциональных материалов, пр. Ленина, 76, Челябинск 454080 

Vladimir E. Fedorov

Chelyabinsk State University, 129 Kashirin Brothers Street, Chelyabinsk, Russia 454001;

Shadrinsk State Pedagogical University, 3 Karl Liebknecht Street, Shadrinsk, Russia 641870;

South Ural State University (National Research University), 76 Lenin Avenue, Chelyabinsk, Russia 454080; 

kar@csu.ruДебушА.DebboucheA.

Амар Дебуш

Университет Гельмы, факультет математики, П. 401, Гельма 24000, Алжир 

Amar Debbouche

Guelma University, 401, Guelma, Algeria 24000

amar_debbouche@yahoo.frЧелябинский гос. университет, кафедра математического анализаРоссияChelyabinsk State UniversityRussian FederationЧелябинский гос. университет, кафедра математического анализа; Шадринский гос. педагогический университет, кафедра физико-математического и информационно-технологического образования; Южно-Уральский гос. университет (национальный исследовательский университет), лаборатория функциональных материаловРоссияChelyabinsk State University; Shadrinsk State Pedagogical University, 3 Karl Liebknecht Street; South Ural State University (National Research University)Russian FederationУниверситет Гельмы, факультет математикиАлжирGuelma UniversityAlgeria2018120520262516372Copyright © Стрелецкая Е.М., Федоров В.Е., Дебуш А., 20262026Стрелецкая Е.М., Федоров В.Е., Дебуш А.Streletskaya E.M., Fedorov V.E., Debbouche A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://matmess.elpub.ru/jour/article/view/299

Исследуется задача Коши для уравнения распределенного порядка в банаховом пространстве с дробной производной Герасимова — Капуто и с линейным ограниченным оператором в правой части. Методами теории преобразования Лапласа найдены условия существования и единственности решения задачи в пространстве экспоненциально растущих функций. Решение представлено в виде контурного интеграла от резольвенты ограниченного оператора со сложным аргументом, определяемым видом распределенной производной. Доказана аналитичность полученного решения в правой полуплоскости комплексной плоскости. Полученный общий результат использован при исследовании задачи Коши для одной интегродифференциальной системы уравнений, правая часть которой представляет собой композицию интегрального по пространственным переменным и линейного преобразований неизвестной вектор-функции. 

The Cauchy problem for a distributed order equation in a Banach space with the fractional Gerasimov–Caputo derivative and a linear bounded operator in the right-hand side is studied. Existence and uniqueness conditions for the problem solution in the space of exponentially growing functions are found by the methods of the Laplace transformation theory. The solution is presented in the form of a contour integral of the bounded operator resolvent with a complex argument determined by the form of the distributed derivative. The analyticity of the solution in the right half-plane of the complex plane is proved. The general result is applied to the research of the Cauchy problem for an integro-differential system of equations with right-hand side in the form of composition of an integral operator with respect to the spatial variables and the linear transformation of the unknown vector-function. 

эволюционное уравнениедробная производная Герасимова — Капутозадача Кошиуравнение распределенного порядкаevolution equationfractional Gerasimov–Caputo derivativeCauchy problemdistributed order equationReferencesCaputo M. Mean fractional-order derivatives, differential equations and filters // Ann. Univ. Ferrara Sez. VII Sci. Mat. 1995. V. 41. P. 73–84.Caputo M. Mean fractional-order derivatives, differential equations and filters // Ann. Univ. Ferrara Sez. VII Sci. Mat. 1995. V. 41. P. 73–84.Caputo M. Diffusion with space memory modelled with distributed order space fractional differential equations // Ann. Geophys. 2003. V. 46, N 2. P. 223–234.Caputo M. Diffusion with space memory modelled with distributed order space fractional differential equations // Ann. Geophys. 2003. V. 46, N 2. P. 223–234.Umarov S., Gorenflo R. Cauchy and nonlocal multi-point problems for distributed order pseudo-differential equations // Z. Anal. Anwend. 2005. V. 24. P. 449–466.Umarov S., Gorenflo R. Cauchy and nonlocal multi-point problems for distributed order pseudo-differential equations // Z. Anal. Anwend. 2005. V. 24. P. 449–466.Meerschaert M. M., Scheffler H.-P. Stochastic model for ultraslow diffusion // Stochastic Process. Appl. 2006. V. 116. P. 1215–1235.Meerschaert M. M., Scheffler H.-P. Stochastic model for ultraslow diffusion // Stochastic Process. Appl. 2006. V. 116. P. 1215–1235.Atanackovi´c T. M., Oparnica L., Pilipovi´c S. On a nonlinear distributed order fractional differential equation // J. Math. Anal. Appl. 2007. V. 328. P. 590–608.Atanackovi´c T. M., Oparnica L., Pilipovi´c S. On a nonlinear distributed order fractional differential equation // J. Math. Anal. Appl. 2007. V. 328. P. 590–608.Kochubei A. N. Distributed order calculus and equations of ultraslow diffusion // J. Math. Anal. Appl. 2008. V. 340. 252–280.Kochubei A. N. Distributed order calculus and equations of ultraslow diffusion // J. Math. Anal. Appl. 2008. V. 340. 252–280.Jiao Z., Chen Y., Podlubny I. Distributed-order dynamic system. Stability, simulations, applications and perspectives. London: Springer-Verl., 2012.Jiao Z., Chen Y., Podlubny I. Distributed-order dynamic system. Stability, simulations, applications and perspectives. London: Springer-Verl., 2012.Федоров В. Е., Дебуш А. Один класс вырожденных дробных эволюционных систем в банаховых пространствах // Дифференц. уравнения. 2013. Т. 49, № 12. С. 1616–1622.Федоров В. Е., Дебуш А. Один класс вырожденных дробных эволюционных систем в банаховых пространствах // Дифференц. уравнения. 2013. Т. 49, № 12. С. 1616–1622.Федоров В. Е., Гордиевских Д. М. Разрешающие операторы вырожденных эволюционных уравнений с дробной производной по времени // Изв. вузов. Математика. 2015. № 1. С. 71–83.Федоров В. Е., Гордиевских Д. М. Разрешающие операторы вырожденных эволюционных уравнений с дробной производной по времени // Изв. вузов. Математика. 2015. № 1. С. 71–83.Гордиевских Д. М., Федоров В. Е. Решения начально-краевых задач для некоторых вырожденных систем уравнений дробного порядка по времени // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. 2015. Т. 12. С. 12–22.Гордиевских Д. М., Федоров В. Е. Решения начально-краевых задач для некоторых вырожденных систем уравнений дробного порядка по времени // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. 2015. Т. 12. С. 12–22.Федоров В. Е., Гордиевских Д. М., Плеханова М. В. Уравнения в банаховых пространствах с вырожденным оператором под знаком дробной производной // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51, № 10. С. 1367–1375.Федоров В. Е., Гордиевских Д. М., Плеханова М. В. Уравнения в банаховых пространствах с вырожденным оператором под знаком дробной производной // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51, № 10. С. 1367–1375.Fedorov V. E., Nazhimov R. R., Gordievskikh D. M. Initial value problem for a class of fractional order inhomogeneous equations in Banach spaces // AIP Conf. Proc. 2016. V. 1759. P. 020008.Fedorov V. E., Nazhimov R. R., Gordievskikh D. M. Initial value problem for a class of fractional order inhomogeneous equations in Banach spaces // AIP Conf. Proc. 2016. V. 1759. P. 020008.Федоров В. Е., Романова Е. А., Дебуш А. Аналитические в секторе разрешающие семейства операторов вырожденных эволюционных уравнений дробного порядка // Сиб. журн. чистой и прикл. математики. 2016. Т. 16, № 2. С. 93–107.Федоров В. Е., Романова Е. А., Дебуш А. Аналитические в секторе разрешающие семейства операторов вырожденных эволюционных уравнений дробного порядка // Сиб. журн. чистой и прикл. математики. 2016. Т. 16, № 2. С. 93–107.Костич М., Федоров В. Е. Вырожденные дробные дифференциальные уравнения в локально выпуклых пространствах с сигма-регулярной парой операторов // Уфим. мат. журн. 2016. Т. 8, № 4. С. 100–113.Костич М., Федоров В. Е. Вырожденные дробные дифференциальные уравнения в локально выпуклых пространствах с сигма-регулярной парой операторов // Уфим. мат. журн. 2016. Т. 8, № 4. С. 100–113.Романова Е. А., Федоров В. Е. Разрешающие операторы линейного вырожденного эволюционного уравнения с производной Капуто. Секториальный случай // Мат. заметки СВФУ. 2016. Т. 23, № 4. С. 58–72.Романова Е. А., Федоров В. Е. Разрешающие операторы линейного вырожденного эволюционного уравнения с производной Капуто. Секториальный случай // Мат. заметки СВФУ. 2016. Т. 23, № 4. С. 58–72.Фёдоров В. Е., Романова Е. А. Об аналитических в секторе разрешающих семействах операторов сильно вырожденных эволюционных уравнений высокого и дробного порядков // Итоги науки и техники. Сер. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 2017. Т. 137. С. 82–96.Фёдоров В. Е., Романова Е. А. Об аналитических в секторе разрешающих семействах операторов сильно вырожденных эволюционных уравнений высокого и дробного порядков // Итоги науки и техники. Сер. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 2017. Т. 137. С. 82–96.Fedorov V. E., Gordievskikh D. M., Baybulatova G. D. Controllability of a class of weakly degenerate fractional order evolution equations // AIP Conf. Proc. 2017. V. 1907. P. 020009.Fedorov V. E., Gordievskikh D. M., Baybulatova G. D. Controllability of a class of weakly degenerate fractional order evolution equations // AIP Conf. Proc. 2017. V. 1907. P. 020009.Федоров В. Е., Плеханова М. В., Нажимов Р. Р. Линейные вырожденные эволюционные уравнения с дробной производной Римана — Лиувилля // Сиб. мат. журн. 2018. Т. 59, № 1. C. 140–152.Федоров В. Е., Плеханова М. В., Нажимов Р. Р. Линейные вырожденные эволюционные уравнения с дробной производной Римана — Лиувилля // Сиб. мат. журн. 2018. Т. 59, № 1. C. 140–152.Гордиевских Д. М., Федоров В. Е., Туров М. М. Бесконечномерная и конечномерная ε-управляемость одного класса вырожденных эволюционных уравнений дробного порядка // Челяб. физ.-мат. журн. 2018. Т. 3, вып. 1. С. 5–26.Гордиевских Д. М., Федоров В. Е., Туров М. М. Бесконечномерная и конечномерная ε-управляемость одного класса вырожденных эволюционных уравнений дробного порядка // Челяб. физ.-мат. журн. 2018. Т. 3, вып. 1. С. 5–26.Герасимов А. Н. Обобщение линейных законов деформации и их приложение к задачам внутреннего трения // Приклад. математика и механика. 1948. Т. 12. С. 529–539.Герасимов А. Н. Обобщение линейных законов деформации и их приложение к задачам внутреннего трения // Приклад. математика и механика. 1948. Т. 12. С. 529–539.Caputo M. Lineal model of dissipation whose Q is almost frequancy independent. II // Geophys. J. Roy. Astron. Soc. 1967. V. 13. P. 529–539.Caputo M. Lineal model of dissipation whose Q is almost frequancy independent. II // Geophys. J. Roy. Astron. Soc. 1967. V. 13. P. 529–539.Arendt W., Batty C. J. K., Hieber M., Neubrander F. Vector-valued Laplace transforms and Cauchy problems. Basel: Springer-Verl., 2011. (Monogr. Math.; V. 96).Arendt W., Batty C. J. K., Hieber M., Neubrander F. Vector-valued Laplace transforms and Cauchy problems. Basel: Springer-Verl., 2011. (Monogr. Math.; V. 96).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.