matmessМатематические заметки СВФУMathematical notes of NEFU2411-93262587-876XСеверо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосова10.25587/SVFU.2018.1.12764matmess-291Research ArticleМАТЕМАТИКАОБ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ОГРАНИЧЕННОСТИ ОДНОГО КЛАССА ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ В ЛЕБЕГОВОМ ПРОСТРАНСТВЕON RELATIVE BOUNDEDNESS OF A CLASS OF DEGENERATE DIFFERENTIAL OPERATORS IN THE LEBESGUE SPACEГадоевМ. Г.GadoevM. G.

Гадоев Махмадрахим Гафурович,

Северо-Восточный федеральный университет им. М. К. Аммосова, Политехнический институт (филиал) в г. Мирном, ул. Тихонова, 5/1, Мирный 678170, Республика Саха (Якутия)

Makhmadrakhim G. Gadoev

North-Eastern Federal University, Mirny Polytechnic Institute (branch), 5/1 Tikhonov Street, Mirny 678170, Yakutia, Russia

gadoev@rambler.ruИсхоковФ. С.IskhokovF. S.

Исхоков Фаридун Сулаймонович,

Институт математики имени А. Джураева АН Республики Таджикистан, ул. Айни, 299/4, Душанбе, 734063, Республика Таджикистан

Faridun S. Iskhokov

Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan, A. Dzhuraev Mathematical Institute, 299/4 Aini Street, Dushanbe 734063, Tajikistan

fariduniskhokov@mail.ruСеверо-Восточный федеральный университет им. М. К. Аммосова, Политехнический институт (филиал) в г. МирномРоссияNorth-Eastern Federal University, Mirny Polytechnic Institute (branch)Russian FederationИнститут математики имени А. Джураева АН Республики ТаджикистанТаджикистанAcademy of Sciences of the Republic of Tajikistan, A. Dzhuraev Mathematical InstituteTajikistan201812052026251314Copyright © Гадоев М.Г., Исхоков Ф.С., 20262026Гадоев М.Г., Исхоков Ф.С.Gadoev M.G., Iskhokov F.S.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://matmess.elpub.ru/jour/article/view/291

В пространстве Lp(Ω), где 1 <p< +∞ и Ω — произвольная (ограниченная или неограниченная) область n-мерного евклидова пространства Rn, исследуется относительная ограниченность одного класса дифференциальных операторов с частными производными недивергентного вида высшего порядка. Исследуемые операторы имеют нестепенное вырождение вдоль всей границы области Š, и вырождение по каждой независимой переменной характеризуется с помощью разных функций.

В работах, опубликованных ранее по этому направлению, обычно сначала задавался исследуемый оператор в области Š и затем в этой области определялись функции, с помощью которых характеризуются вырождения коэффициентов исследуемого оператора. Эти функции имели одинаковое поведение вблизи границы по разным независимым переменным.

В отличие от этого, в настоящей работе область Š и функции, которые характеризуют вырождения коэффициентов дифференциального оператора, задаются в паре друг с другом и предполагается выполнение «условия погружения», введенного ранее П. И. Лизоркиным. При этом дифференцируемость функций, с помощью которых определяется вырождение исследуемого оператора, не требуется.

Исследование относительной ограниченности дифференциальных операторов является одним из основных направлений теории таких операторов, и результаты, полученные в этом направлении, имеют широкое применение в теории вложения нормированных пространств дифференцируемых функций многих переменных, теории разделимости дифференциальных операторов, спектральной теории дифференциальных операторов и т.д.

In the space Lp(Ω), where 1 < p < +∞ and Ω is an arbitrary (bounded or unbounded) domain in Rn, we investigate relative boundedness for a class of higher order partial differential operators in non-divergent form. These operators have nonpower degeneracy on the whole boundary of Š and degeneracy with respect to each of independent variables is characterized by different functions.

In the earlier published papers in this direction, as a rule, firstly the operator is defined in Š and then functions characterizing degeneracies of the operator’s coefficients are defined in this domain.

In contrast to that, here we define Š and these functions related to each other while fulfilling the “immersion condition” introduced by P. I. Lizorkin in [19]. In addition, differentiability of the functions by which we define degeneracy of the investigated operator is not required.

Study of relative boundedness of differential operators is one of the modern directions in such operators theory with results having a wide range of applicability to the imbedding theory of differentiable functions of many variables, the separation theory of differential operators, the spectral theory of differential operators, etc. 

дифференциальный оператор с частными производныминестепенное вырождениеотносительная ограниченность операторовразбиение единицыpartial differential operatornon-power degeneracyrelative boundedness of operatorspartition of the unitReferencesКато Т. Теория возмущений линейных операторов. — М.: Мир, 1972.Като Т. Теория возмущений линейных операторов. — М.: Мир, 1972.Бойматов К. Х. Теоремы разделимости, весовые пространства и их приложения // Тр. МИАН СССР. 1984. Т. 170. С. 37–76.Бойматов К. Х. Теоремы разделимости, весовые пространства и их приложения // Тр. МИАН СССР. 1984. Т. 170. С. 37–76.Anderson T. G., Hinton D. B. Relative boundedness and compactness theory for second-order differential operators // J. Inequal. Appl. 1997. V. 1. P. 375–400.Anderson T. G., Hinton D. B. Relative boundedness and compactness theory for second-order differential operators // J. Inequal. Appl. 1997. V. 1. P. 375–400.Binding P., Hryntiv R. Relative boundedness and relative compactness for linear operators in Banach space // Proc. Amer. Math. Soc. 2000. V. 128, N 8. P. 2287–2290.Binding P., Hryntiv R. Relative boundedness and relative compactness for linear operators in Banach space // Proc. Amer. Math. Soc. 2000. V. 128, N 8. P. 2287–2290.Отелбаев М. О разделимости эллиптических операторов // Докл. АН СССР. 1977. Т. 234. № 3. С. 540–543.Отелбаев М. О разделимости эллиптических операторов // Докл. АН СССР. 1977. Т. 234. № 3. С. 540–543.Отелбаев М. Коэрцитивные оценки и теоремы разделимости эллиптических уравнений в Rn // Тр. МИАН СССР. 1983. Т. 161. С. 195–217.Отелбаев М. Коэрцитивные оценки и теоремы разделимости эллиптических уравнений в Rn // Тр. МИАН СССР. 1983. Т. 161. С. 195–217.Muratbekov M., Otelbaev M. On the existence of a resolvent and separability for a class of singular hyperbolic type differential operators on an unbounded domain // Euras. Math. J. 2016. V. 7, N 1. P. 50–67.Muratbekov M., Otelbaev M. On the existence of a resolvent and separability for a class of singular hyperbolic type differential operators on an unbounded domain // Euras. Math. J. 2016. V. 7, N 1. P. 50–67.Бойматов К. Х. Теоремы разделимости, весовые пространства и их приложения к краевым задачам // Докл. АН СССР. 1979. Т. 247, № 3. С. 532–536.Бойматов К. Х. Теоремы разделимости, весовые пространства и их приложения к краевым задачам // Докл. АН СССР. 1979. Т. 247, № 3. С. 532–536.Бойматов К. Х. Теоремы разделимости // Докл. АН СССР. 1973, Т. 213, № 5. С. 1009–1011.Бойматов К. Х. Теоремы разделимости // Докл. АН СССР. 1973, Т. 213, № 5. С. 1009–1011.Зорин А. В. Метод исследования существенного и дискретного спектра оператора Гамильтона водородоподобного атома в квантовой механике Курышкина // Вестн. РУДН. Сер. Прикладная и компьютерная математика. 2004. Т. 3, № 1. С. 121–131.Зорин А. В. Метод исследования существенного и дискретного спектра оператора Гамильтона водородоподобного атома в квантовой механике Курышкина // Вестн. РУДН. Сер. Прикладная и компьютерная математика. 2004. Т. 3, № 1. С. 121–131.Brown R. C., Hinton D. B. Relative form boundedness and compactness for a second-order differential operator // J. Comput. Appl. Math. 2004. V. 171. P. 123–140.Brown R. C., Hinton D. B. Relative form boundedness and compactness for a second-order differential operator // J. Comput. Appl. Math. 2004. V. 171. P. 123–140.Тригуб Р. М. О сравнении линейных дифференциальных операторов // Мат. заметки. 2007. Т. 82, вып. 3. С. 426–440.Тригуб Р. М. О сравнении линейных дифференциальных операторов // Мат. заметки. 2007. Т. 82, вып. 3. С. 426–440.Behncke H., Nyamwala F. O. Spectral analysis of higher order differential operators with unbounded coeffcients // Math. Nachr. 2012. V. 285, N 1. P. 56–73.Behncke H., Nyamwala F. O. Spectral analysis of higher order differential operators with unbounded coeffcients // Math. Nachr. 2012. V. 285, N 1. P. 56–73.Brown R. C. Separation and disconjugacy // J. Inequal. Pure Appl. Math. 2003. V. 4, N 3. Art. 56. P. 1–16.Brown R. C. Separation and disconjugacy // J. Inequal. Pure Appl. Math. 2003. V. 4, N 3. Art. 56. P. 1–16.Ospanov K. N., Akhmetkaliyeva R. D. Separation and the existence theorem for second order nonlinear differential equation // Electr. J. Quantat. Theory Diff. Equ. 2012. N 66. P. 1–12.Ospanov K. N., Akhmetkaliyeva R. D. Separation and the existence theorem for second order nonlinear differential equation // Electr. J. Quantat. Theory Diff. Equ. 2012. N 66. P. 1–12.Zayed E. M. E., Omran S. A. Separation for triple-harmonic differential operator in Hilbert space // Int. J. Math. Combin. 2010. V. 4. P. 13–23.Zayed E. M. E., Omran S. A. Separation for triple-harmonic differential operator in Hilbert space // Int. J. Math. Combin. 2010. V. 4. P. 13–23.Qi J., Sun H. Relatively bounded and relatively compact perturbations for limit circle Hamiltonian systems // Integr. Equ. Oper. Theory. 2016. DOI 10.1007/s00020-016-2325-y.Qi J., Sun H. Relatively bounded and relatively compact perturbations for limit circle Hamiltonian systems // Integr. Equ. Oper. Theory. 2016. DOI 10.1007/s00020-016-2325-y.Гадоев М. Г., Исхоков Ф. С. Об обратимости одного класса вырождающихся дифференциальных операторов в лебеговом пространстве // Мат. заметки СВФУ. 2016. Т. 23, № 3. C. 3–26.Гадоев М. Г., Исхоков Ф. С. Об обратимости одного класса вырождающихся дифференциальных операторов в лебеговом пространстве // Мат. заметки СВФУ. 2016. Т. 23, № 3. C. 3–26.Лизоркин П. И. Оценки смешанных и промежуточных производных в весовых Lp-нормах // Тр. МИАН СССР. 1980. Т. 156. С. 130–142.Лизоркин П. И. Оценки смешанных и промежуточных производных в весовых Lp-нормах // Тр. МИАН СССР. 1980. Т. 156. С. 130–142.Гадоев М. Г., Исхоков Ф. С. О некоторых функциональных пространствах, норма которых задается с помощью дифференциального оператора // Тр. междунар. летней математической школы-конференции С. Б. Стечкина по теории функций. Душанбе. 2016. C. 82–84.Гадоев М. Г., Исхоков Ф. С. О некоторых функциональных пространствах, норма которых задается с помощью дифференциального оператора // Тр. междунар. летней математической школы-конференции С. Б. Стечкина по теории функций. Душанбе. 2016. C. 82–84.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.