Неустроева Наталья Валериановна,
Северо-Восточный федеральный университет, Институт математики и информатики, Кулаковского, 42, Якутск 677000
Natalia V. Neustroeva,
M. K. Ammosov North-Eastern Federal University, Institute of Mathematics and Informatics, 42 Kulakovsky Street, Yakutsk 677000, Russia
Афанасьева Надежда Михайловна,
Северо-Восточный федеральный университет, Институт математики и информатики, Кулаковского, 42, Якутск 677000
Nadezhda M. Afanaseva,
M. K. Ammosov North-Eastern Federal University, Institute of Mathematics and Informatics, 42 Kulakovsky Street, Yakutsk 677000, Russia
Егорова Алена Андреевна
Северо-Восточный федеральный университет, Институт математики и информатики, Кулаковского, 42, Якутск 677000
Alena A. Egorova
M. K. Ammosov North-Eastern Federal University, Institute of Mathematics and Informatics, 42 Kulakovsky Street, Yakutsk 677000, Russia
Рассматривается нелинейная задача о равновесии упругого тела с периодически расположенными трещинами. При этом на краях трещин ставятся односторонние ограничения, что приводит к вариационному неравенству. Период распределения трещин, а также их размеры зависят от малого параметра. Поведение решения задачи с периодически расположенными трещинами определяется двумя первыми членами u0(x), u1(x,y) асимптотического разложения. В статье изучается решение вариационного неравенства на ячейке периодичности (локальная задача). Для первого корректора u1(x,y) строится уравнение со штрафом и линейное итерационное уравнение в интегральной форме. Доказано, что последовательность решений задачи со штрафом при стремлении малого параметра регуляризации к нулю сходится к решению задачи на ячейке. Показано, что приближенное решение итерационного уравнения сходится сильно к решению уравнения со штрафом.
We consider a nonlinear problem of equilibrium of an elastic body with periodically located cracks. On the edges of these cracks, non-penetration conditions are given. The nonlinear problem is formulated in the form of variational inequality. The period of distribution of the cracks, as well as their sizes, depends on a small parameter. The behavior of the solution to the problem with periodically located cracks is determined by the first two terms u0(x) and u1(x,y) of the asymptotic expansion. In this paper, we study the solution of the variational inequality on a periodicity cell (a local problem). For the first corrector u1(x,y), we construct a penalty equation and a linear iterative equation in integral form. We prove that the sequence of solutions of the problem with penalty converges to the solution of the problem on the cell when the small regularization parameter tends to zero. We show that the approximate solution of the iteration equation converges strongly to the solution of the penalty equation.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.