matmessМатематические заметки СВФУMathematical notes of NEFU2411-93262587-876XСеверо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосова10.25587/SVFU.2021.37.71.006matmess-211Research ArticleМАТЕМАТИКАО ТЕОРЕМАХ КОМПАКТНОСТИ, СВЯЗАННЫХ С ЗАДАЧАМИ С НЕИЗВЕСТНОЙ ГРАНИЦЕЙCOMPACTNESS THEOREMS CONNECTED WITH PROBLEMS WITH UNKNOWN BOUNDARYПодгаевА. Г.PodgaevA. G.

Подгаев Александр Григорьевич

Тихоокеанский государственный университет, ул. Тихоокеанская, 136, Хабаровск 680035 

Aleksandr G. Podgaev

Pacific National University, 136 Tikhookeanskaya Street, Khabarovsk 680035, Russia 

pvu1707@mail.ruТихоокеанский государственный университетРоссияPacific National UniversityRussian Federation2021020420262847189Copyright © Подгаев А.Г., 20262026Подгаев А.Г.Podgaev A.G.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://matmess.elpub.ru/jour/article/view/211

Доказывается часть результатов, относящихся к исследованию задач с неизвестной границей методами компактности, которые были представлены на IX Международной конференции по математическому моделированию, посвященной 75-летию В. Н. Врагова. Дано обоснование теоремы об относительной компактности, которую можно применять при исследовании задач типа задачи Стефана с неизвестной частью границы, а также в задачах для уравнений переменного типа с неизвестной границей смены типа. Приведен пример такой задачи и показано, что полученные оценки на приближенные решения уравнения и функции, описывающие последовательность границ, приближающуюся к искомой границе фазового перехода, полностью совпадают с условиями, сформулированными в основной теореме о компактности.

Автору не известны теоремы подобного типа. Теорема является новым видом теорем компактности, приспособленным к задачам типа Стефана.

Для лучшего восприятия приведены наиболее простые условия при которых справедлив результат, совпадающие с условиями рассмотренного примера. Однако результат может быть обобщен на значительно более общие ситуации, такие как число границ фазового перехода и замену оценки второй производной оценкой более сложного агрегата, встречающегося в уравнениях с вырождениями на решениях. 

The paper provides some of the results that were presented at the IX International Conference on Mathematical Modeling dedicated to the 75th anniversary of V. N. Vragov and are related to the study of problems with an unknown boundary by methods of compactness. A substantiation of the theorem on relative compactness is given, which can be used in the study of problems of the Stefan type with an unknown part of the boundary, as well as in problems for equations of variable type with an unknown boundary of type change. An example of such problem is given, and it is shown that the estimates obtained for approximate solutions of the equation and functions describing a sequence of boundaries approaching the sought boundary of the phase transition completely coincide with the conditions formulated in the main theorem on compactness.

The author is not aware of theorems of such type. The theorem is a new kind of compactness theorem, adapted to problems of the Stefan type.

For better perception, the simplest conditions are given under which the result is valid, which coincide with the conditions of the considered example. However, the result can be generalized to much more general situations, including the number of phase transition boundaries and replacing the estimate of the second derivative with an estimate of a more complex aggregate that occurs in equations with degenerations on solutions.

относительная компактностьнецилиндрическая областьнеизвестная границаусловие Стефана.relative compactnessnon-cylindrical domainunknown boundaryStefan condition.ReferencesПодгаев А. Г. Разрешимость осесимметричной задачи для нелинейного параболического уравнения в областях с нецилиндрической или неизвестной границей. I // Челяб. физ.мат. журн. 2020. Т. 5, вып. 1. С. 44–55.Подгаев А. Г. Разрешимость осесимметричной задачи для нелинейного параболического уравнения в областях с нецилиндрической или неизвестной границей. I // Челяб. физ.мат. журн. 2020. Т. 5, вып. 1. С. 44–55.Бородин А. М. Задача Стефана // Укр. мат. вiсн. 2011. Т. 8. С. 17–54.Бородин А. М. Задача Стефана // Укр. мат. вiсн. 2011. Т. 8. С. 17–54.Мейрманов А. М., Гальцева О. А., Сельдемиров В. Е. О существовании обобщенного решения в целом по времени одной задачи со свободной границей // Мат. заметки. 2020. Т. 107, вып. 2. C. 229–240.Мейрманов А. М., Гальцева О. А., Сельдемиров В. Е. О существовании обобщенного решения в целом по времени одной задачи со свободной границей // Мат. заметки. 2020. Т. 107, вып. 2. C. 229–240.Bollati J., Tarzia A. D. One-phase Stefan problem with a latent heat depending on the position of the free boundary and its rate of change // Electron. J. Differ. Equ. 2018. N 10. P. 1–12.Bollati J., Tarzia A. D. One-phase Stefan problem with a latent heat depending on the position of the free boundary and its rate of change // Electron. J. Differ. Equ. 2018. N 10. P. 1–12.Белых В. Н. Корректность одной нестационарной осесимметричной задачи гидродинамики со свободной поверхностью // Сиб. мат. журн. 2017. Т. 58, № 4. С. 728-744.Белых В. Н. Корректность одной нестационарной осесимметричной задачи гидродинамики со свободной поверхностью // Сиб. мат. журн. 2017. Т. 58, № 4. С. 728-744.Тахиров Ж. О., Тураев Р. Н. Нелокальная задача Стефана для квазилинейного параболического уравнения // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2012. № 3. С. 8–16.Тахиров Ж. О., Тураев Р. Н. Нелокальная задача Стефана для квазилинейного параболического уравнения // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2012. № 3. С. 8–16.Bollati J., Tarzia D. A. Explicit solution for the one-phase Stefan problem with latent heat depending on the position and a convective boundary condition at the fixed face // Commun. Appl. Anal. 2018. V. 22. P. 309–322.Bollati J., Tarzia D. A. Explicit solution for the one-phase Stefan problem with latent heat depending on the position and a convective boundary condition at the fixed face // Commun. Appl. Anal. 2018. V. 22. P. 309–322.Ли Ф., Лу Д. Распространение решений для уравнения диффузии реакции со свободными границами в периодической среде // Электрон. журн. дифференц. уравн. 2018. № 185. С. 1–12.Ли Ф., Лу Д. Распространение решений для уравнения диффузии реакции со свободными границами в периодической среде // Электрон. журн. дифференц. уравн. 2018. № 185. С. 1–12.Kuznetsov I. V. Kinetic formulation of forward-backward parabolic equations // Sib. Elektron. Mat. Izv. 2016. V. 13. P. 930–949.Kuznetsov I. V. Kinetic formulation of forward-backward parabolic equations // Sib. Elektron. Mat. Izv. 2016. V. 13. P. 930–949.Kuznetsov I. V., Sazhenkov S. A. Anisotropic vanishing diffusion method applied to genuinely nonlinear forward-backward ultra-parabolic equations // Sib. Elektron. Mat. Izv. 2018. V. 15. P. 1158–1173.Kuznetsov I. V., Sazhenkov S. A. Anisotropic vanishing diffusion method applied to genuinely nonlinear forward-backward ultra-parabolic equations // Sib. Elektron. Mat. Izv. 2018. V. 15. P. 1158–1173.Antontsev S. N., Kuznetsov I. V. Existence of entropy measure-valued solutions for forwardbackward p-parabolic equations // Sib. Elektron. Mat. Izv. 2017. V. 14. P. 774–793.Antontsev S. N., Kuznetsov I. V. Existence of entropy measure-valued solutions for forwardbackward p-parabolic equations // Sib. Elektron. Mat. Izv. 2017. V. 14. P. 774–793.Кожанов А. И., Мациевская Е. Е. Вырождающиеся параболические уравнения с переменным направлением эволюции // Сиб. электрон. мат. изв. 2019. Т. 16. С. 718–731.Кожанов А. И., Мациевская Е. Е. Вырождающиеся параболические уравнения с переменным направлением эволюции // Сиб. электрон. мат. изв. 2019. Т. 16. С. 718–731.Монахов В. Н., Попов С. В. Контактные задачи математической физики // Динамика сплошной среды. 2000. № 116. C. 62–72.Монахов В. Н., Попов С. В. Контактные задачи математической физики // Динамика сплошной среды. 2000. № 116. C. 62–72.Егоров И. Е., Ефимова Е. С. Модифицированный метод Галёркина для полулинейного параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Сиб. журн. чистой и прикл. математики. 2016. Т. 16, № 2. С. 6–15.Егоров И. Е., Ефимова Е. С. Модифицированный метод Галёркина для полулинейного параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Сиб. журн. чистой и прикл. математики. 2016. Т. 16, № 2. С. 6–15.Подгаев А. Г. Об относительной компактности множества абстрактных функций из шкалы банаховых пространств // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34, № 2. С. 135–137.Подгаев А. Г. Об относительной компактности множества абстрактных функций из шкалы банаховых пространств // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34, № 2. С. 135–137.Simon J. Compact sets in the space Lp(0,T;B) // Ann. Mat. Pura Appl. 1987. V. 146. P. 65–96.Simon J. Compact sets in the space Lp(0,T;B) // Ann. Mat. Pura Appl. 1987. V. 146. P. 65–96.Темиргалиев Н., Жайнибекова М. А., Джумакаева Г. Т. Критерий вложения анизотропных классов Соболева — Морри в пространство равномерно непрерывных функций // Сиб. мат. журн. 2016. Т. 57, № 5. С. 1156–1170.Темиргалиев Н., Жайнибекова М. А., Джумакаева Г. Т. Критерий вложения анизотропных классов Соболева — Морри в пространство равномерно непрерывных функций // Сиб. мат. журн. 2016. Т. 57, № 5. С. 1156–1170.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.