matmessМатематические заметки СВФУMathematical notes of NEFU2411-93262587-876XСеверо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосова10.25587/SVFU.2021.71.81.005matmess-210Research ArticleМАТЕМАТИКАОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ УГЛОМ НАКЛОНА ТРЕЩИНЫ В ЗАДАЧЕ О РАВНОВЕСИИ ПЛАСТИНЫ ТИМОШЕНКО С УПРУГИМ ВКЛЮЧЕНИЕМOPTIMAL CONTROL OF THE CRACK ANGLE IN THE EQUILIBRIUM PROBLEM FOR A TIMOSHENKO PLATE WITH ELASTIC INCLUSIONНеустроеваН. В.NeustroevaN. V.

Неустроева Наталья Валериановна

Северо-Восточный федеральный университет, Институт математики и информатики, Кулаковского, 48, Якутск 677000

Natalia V. Neustroeva

North-Eastern Federal University,

Institute of Mathematics and Informatics, 48 Kulakovsky Street, Yakutsk 677000, Russia 

nnataliav@mail.ruЛазаревН. П.LazarevN. P.

Лазарев Нюргун Петрович

Северо-Восточный федеральный университет, Научно-исследовательский институт математики, Белинского, 58, Якутск 677891 

Nyurgun P. Lazarev

North-Eastern Federal University, Scientific Research Institute of Mathematics, 58 Belinsky Street, Yakutsk 677891, Russia 

nyurgun@ngs.ruСеверо-Восточный федеральный университет, Институт математики и информатикиРоссияNorth-Eastern Federal University, institute of Mathematics and InformaticsRussian FederationСеверо-Восточный федеральный университет, научно-исследовательский институт математикиРоссияNorth-Eastern Federal University, scientific Research Institute of MathematicsRussian Federation2021020420262845870Copyright © Неустроева Н.В., Лазарев Н.П., 20262026Неустроева Н.В., Лазарев Н.П.Neustroeva N.V., Lazarev N.P.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://matmess.elpub.ru/jour/article/view/210

Математическое моделирование и исследование задач о деформировании неоднородных тел, содержащих трещины вдоль упругих включений, предполагает задание условий сопряжения на границе стыка разных материалов. Трудности связаны с возможностью появления больших значений напряжений вблизи включений. Определение неоднородных тел с наиболее оптимальными параметрами представляет собой одно из самых востребованных направлений теоретических и экспериментальных исследований. В данной работе исследована задача оптимального управления углом наклона трещины к срединной плоскости в задаче о равновесии упругой пластины Тимошенко, содержащей наклонную трещину на границе упругого включения. Сложность задачи заключается в том, что на берегах трещины существует условие непроникания, имеющее вид неравенства. Функционал качества характеризует отклонение от заданных перемещений. Доказана разрешимость задачи оптимального управления. Установлена непрерывная зависимость решений от значения угла наклона трещины. 

Mathematical modeling and research of problems on the deformation of inhomogeneous bodies containing cracks along elastic inclusions involves setting the conjugation conditions at the interface between different materials. Difficulties are associated with the possibility of large stress values appearing near the inclusions. Determining the inhomogeneous bodies with the most optimal parameters is one of the most popular areas of theoretical and experimental research. In this paper, we study the problem of optimal control of the angle of the crack inclination to the median plane in the equilibrium problem for an elastic Timoshenko plate containing an oblique crack at the boundary of an elastic inclusion. The complexity of the problem is due to the fact that the non-penetration condition on the crack faces is given in the form of inequality. The quality functional characterizes the deviation from the specified displacements. We prove solvability of the optimal control problem and establish continuous dependence of the solutions on the value of the crack inclination angle. 

наклонная трещинаупругое включениепластинаоптимальное управлениемодель Тимошенко.inclined crackelastic inclusionoptimal controlplateTymoshenko model.ReferencesХлуднев А. М. Задачи теории упругости в негладких областях. М.: Физматлит, 2010.Хлуднев А. М. Задачи теории упругости в негладких областях. М.: Физматлит, 2010.Khludnev A. M., Kovtunenko V. A. Analysis of cracks in solids. Southampton; Boston: WIT Press, 2000.Khludnev A. M., Kovtunenko V. A. Analysis of cracks in solids. Southampton; Boston: WIT Press, 2000.Lazarev N., Semenova G. An optimal size of a rigid thin stiffener reinforcing an elastic twodimensional body on the outer edge // J. Optim. Theory Appl. 2018. V. 178, N. 2. P. 614–626.Lazarev N., Semenova G. An optimal size of a rigid thin stiffener reinforcing an elastic twodimensional body on the outer edge // J. Optim. Theory Appl. 2018. V. 178, N. 2. P. 614–626.Khludnev A. M. On modeling thin inclusions in elastic bodies with a damage parameter // Math. Mech. Solids. 2019. V. 24, N. 9. P. 2742–2753.Khludnev A. M. On modeling thin inclusions in elastic bodies with a damage parameter // Math. Mech. Solids. 2019. V. 24, N. 9. P. 2742–2753.Khludnev A., Popova T. Equilibrium problem for elastic body with delaminated T-shape inclusion // J. Comput. Appl. Math. 2020. V. 376. P. 112870.Khludnev A., Popova T. Equilibrium problem for elastic body with delaminated T-shape inclusion // J. Comput. Appl. Math. 2020. V. 376. P. 112870.Rudoy E., Shcherbakov V. First-order shape derivative of the energy for elastic plates with rigid inclusions and interfacial cracks // Appl. Math. Optimization. 2021. V. 84, N 3. P. 2775– 2802.Rudoy E., Shcherbakov V. First-order shape derivative of the energy for elastic plates with rigid inclusions and interfacial cracks // Appl. Math. Optimization. 2021. V. 84, N 3. P. 2775– 2802.Khludnev A., Fankina I. Equilibrium problem for elastic plate with thin rigid inclusion crossing an external boundary // Z. Angew. Math. Phys. 2021. Bd 72, Heft 3. S. 121.Khludnev A., Fankina I. Equilibrium problem for elastic plate with thin rigid inclusion crossing an external boundary // Z. Angew. Math. Phys. 2021. Bd 72, Heft 3. S. 121.Khludnev A., Esposito A. C., Faella L. Optimal control of parameters for elastic body with thin inclusions // J. Optimization Theory Appl. 2020. V. 184, N 1. P. 293–314.Khludnev A., Esposito A. C., Faella L. Optimal control of parameters for elastic body with thin inclusions // J. Optimization Theory Appl. 2020. V. 184, N 1. P. 293–314.Khludnev A. T-shape inclusion in elastic body with a damage parameter // J. Comput. Appl. Math. 2021. V. 393. P. 113540.Khludnev A. T-shape inclusion in elastic body with a damage parameter // J. Comput. Appl. Math. 2021. V. 393. P. 113540.Lazarev N., Rudoy E. Optimal location of a finite set of rigid inclusions in contact problems for inhomogeneous two-dimensional bodies // J. Comput. Appl. Math. 2022. V. 403. P. 113710.Lazarev N., Rudoy E. Optimal location of a finite set of rigid inclusions in contact problems for inhomogeneous two-dimensional bodies // J. Comput. Appl. Math. 2022. V. 403. P. 113710.Khludnev A. M., Sokolowski J. Modelling and control in solid mechanics. Basel; Boston; Berlin: Birkha¨user-Verl., 1997.Khludnev A. M., Sokolowski J. Modelling and control in solid mechanics. Basel; Boston; Berlin: Birkha¨user-Verl., 1997.Вторушин Е. В. Управление формой трещины в упругом теле при условии возможного контакта берегов // Сиб. журн. индустр. математики. 2006. Т. 9, № 2. С. 20–30.Вторушин Е. В. Управление формой трещины в упругом теле при условии возможного контакта берегов // Сиб. журн. индустр. математики. 2006. Т. 9, № 2. С. 20–30.Khludnev A. M., Leugering G. R. Optimal control of crack in elastic bodies with thin rigid inclusions // Z. Angew. Math.Mech. 2011. Bd 91, Heft 2. S. 125–137.Khludnev A. M., Leugering G. R. Optimal control of crack in elastic bodies with thin rigid inclusions // Z. Angew. Math.Mech. 2011. Bd 91, Heft 2. S. 125–137.Лазарев Н. П. Существование экстремальной формы трещины в задаче о равновесии пластины Тимошенко // Вестн. Новосиб. гос. ун-та. Математика, механика, информатика. 2011. Т. 11, вып. 4. С. 49–62.Лазарев Н. П. Существование экстремальной формы трещины в задаче о равновесии пластины Тимошенко // Вестн. Новосиб. гос. ун-та. Математика, механика, информатика. 2011. Т. 11, вып. 4. С. 49–62.Khludnev A. M., Negri M. Optimal rigid inclusion shapes in elastic bodies with cracks //Khludnev A. M., Negri M. Optimal rigid inclusion shapes in elastic bodies with cracks //Z. Angew. Math. Phys. 2013. Bd 64, Heft 1. S. 179–191.Z. Angew. Math. Phys. 2013. Bd 64, Heft 1. S. 179–191.Лазарев Н. П. Задача о равновесии пластины Тимошенко, содержащей трещину вдоль тонкого жесткого включения // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2014. № 1. C. 32–45.Лазарев Н. П. Задача о равновесии пластины Тимошенко, содержащей трещину вдоль тонкого жесткого включения // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2014. № 1. C. 32–45.Лазарев Н. П., Неустроева Н. В., Николаева Н. А. Оптимальное управление углом наклона трещины в задаче о равновесии пластины Тимошенко // Сиб. электрон. мат. изв. 2015. Т. 12. С. 300–308.Лазарев Н. П., Неустроева Н. В., Николаева Н. А. Оптимальное управление углом наклона трещины в задаче о равновесии пластины Тимошенко // Сиб. электрон. мат. изв. 2015. Т. 12. С. 300–308.Lazarev N. P. Optimal control of the thickness of a rigid inclusion in equilibrium problems for inhomogeneous two-dimensional bodies with a crack // Z. Angew. Mech. 2016. Bd 96, Heft 4. S. 509–518.Lazarev N. P. Optimal control of the thickness of a rigid inclusion in equilibrium problems for inhomogeneous two-dimensional bodies with a crack // Z. Angew. Mech. 2016. Bd 96, Heft 4. S. 509–518.Shcherbakov V. Shape optimization of rigid inclusions for elastic plates with cracks // Z. Angew. Math. Phys. 2016. Bd 67, Heft 3. S. 71.Shcherbakov V. Shape optimization of rigid inclusions for elastic plates with cracks // Z. Angew. Math. Phys. 2016. Bd 67, Heft 3. S. 71.Kovtunenko V. A., Leugering G. A shape-topological control problem for nonlinear crackdefect interaction: The antiplane variational model // SIAM. J. Control Optim. 2016. V. 54, N 3. P. 1329–1351.Kovtunenko V. A., Leugering G. A shape-topological control problem for nonlinear crackdefect interaction: The antiplane variational model // SIAM. J. Control Optim. 2016. V. 54, N 3. P. 1329–1351.Баничук Н. В. Оптимизация форм упругих тел. М.: Наука, 1980.Баничук Н. В. Оптимизация форм упругих тел. М.: Наука, 1980.Литвинов В. Г. Оптимизация в эллиптических граничных задачах с приложениями к механике. М.: Наука, 1987.Литвинов В. Г. Оптимизация в эллиптических граничных задачах с приложениями к механике. М.: Наука, 1987.Khludnev A. M., Faella L., Popova T. S. Junction problem for rigid and Timoshenko elastic inclusions in elastic bodies // Math. Mech. Solids. 2017. V. 22, N 4. P. 1–14.Khludnev A. M., Faella L., Popova T. S. Junction problem for rigid and Timoshenko elastic inclusions in elastic bodies // Math. Mech. Solids. 2017. V. 22, N 4. P. 1–14.Хлуднев А. М. Задача о равновесии пластины, содержащей наклонную трещину // Прикл. механика и техн. физика. 1997. Т. 38, № 5. C. 117–121.Хлуднев А. М. Задача о равновесии пластины, содержащей наклонную трещину // Прикл. механика и техн. физика. 1997. Т. 38, № 5. C. 117–121.Ковтуненко В. А., Леонтьев А. Н., Хлуднев А. М. Задача о равновесии пластины с наклонным разрезом // Прикл. механика и техн. физика. 1998. Т. 39, № 2. C. 164–174.Ковтуненко В. А., Леонтьев А. Н., Хлуднев А. М. Задача о равновесии пластины с наклонным разрезом // Прикл. механика и техн. физика. 1998. Т. 39, № 2. C. 164–174.Лазарев Н. П. Задача о равновесии пластины Тимошенко с наклонной трещиной // Прикл. механика и техн. физика. 2013. Т. 54, № 4. C. 171–181.Лазарев Н. П. Задача о равновесии пластины Тимошенко с наклонной трещиной // Прикл. механика и техн. физика. 2013. Т. 54, № 4. C. 171–181.Неустроева Н. В. Задача о равновесии упругой пластины, содержащей наклонную трещину на границе жесткого включения // Сиб. журн. индустр. математики. 2015. Т. 18, № 2. C. 74–84.Неустроева Н. В. Задача о равновесии упругой пластины, содержащей наклонную трещину на границе жесткого включения // Сиб. журн. индустр. математики. 2015. Т. 18, № 2. C. 74–84.Лазарев Н. П. Задача о равновесии пластины Тимошенко, содержащей трещину на границе упругого включения с бесконечной жесткостью поперечного сдвига // Прикл. математика и техн. физика. 2013. Т. 54, № 2. С. 179–189.Лазарев Н. П. Задача о равновесии пластины Тимошенко, содержащей трещину на границе упругого включения с бесконечной жесткостью поперечного сдвига // Прикл. математика и техн. физика. 2013. Т. 54, № 2. С. 179–189.Пелех Б. Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. К.: Наук. думка, 1973.Пелех Б. Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. К.: Наук. думка, 1973.Лазарев Н. П. Дифференцирование функционала энергии в задаче о равновесии пластины Тимошенко, содержащей трещину // Прикл. математика и техн. физика. 2012. Т. 53, № 2. С. 175–185.Лазарев Н. П. Дифференцирование функционала энергии в задаче о равновесии пластины Тимошенко, содержащей трещину // Прикл. математика и техн. физика. 2012. Т. 53, № 2. С. 175–185.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.