matmessМатематические заметки СВФУMathematical notes of NEFU2411-93262587-876XСеверо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосова10.25587/SVFU.2021.26.84.003matmess-208Research ArticleМАТЕМАТИКАУРАВНЕНИЕ ЭЙНШТЕЙНА НА ТРЕХМЕРНЫХ ЛОКАЛЬНО ОДНОРОДНЫХ (ПСЕВДО)РИМАНОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ С ВЕКТОРНЫМ КРУЧЕНИЕМEINSTEIN EQUATION ON THREE–DIMENSIONAL LOCALLY HOMOGENEOUS (PSEUDO)RIEMANNIAN MANIFOLDS WITH VECTORIAL TORSIONКлепиковП. Н.KlepikovP. N.

Клепиков Павел Николаевич

Алтайский государственный университет, кафедра математического анализа, пр. Ленина, 61, Барнаул 656049

Pavel N. Klepikov,

Altai State University, Department of Mathematical Analysis, 61 Lenin Street, Barnaul 656049, Russia

klepikov.math@gmail.comРодионовЕ. Д.RodionovE. D.

Родионов Евгений Дмитриевич,

Алтайский государственный университет, кафедра математического анализа, пр. Ленина, 61, Барнаул 656049

Evgenii D. Rodionov,

Altai State University, Department of Mathematical Analysis, 61 Lenin Street, Barnaul 656049, Russia

edr2002@mail.ruХромоваО. П.KhromovaO. P.

Хромова Олеся Павловна

Алтайский государственный университет, кафедра математического анализа, пр. Ленина, 61, Барнаул 656049

Altai State University,

Department of Mathematical Analysis, 61 Lenin Street, Barnaul 656049, Russia

khromova.olesya@gmail.comАлтайский государственный университет, кафедра математического анализаРоссияAltai State University, Department of Mathematical AnalysisRussian FederationАлтайский государственный университет, кафедра математического анализаРоссияAltai State University, Department of Mathematical AnalysisRussian Federation2021020420262843047Copyright © Клепиков П.Н., Родионов Е.Д., Хромова О.П., 20262026Клепиков П.Н., Родионов Е.Д., Хромова О.П.Klepikov P.N., Rodionov E.D., Khromova O.P.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://matmess.elpub.ru/jour/article/view/208

Впервые метрическая связность с векторным кручением, или полусимметрическая метрическая связность, была открыта Э. Картаном. Позднее свойства данной связности изучали многие математики. Так, например, К. Яно, И. Агрикола и другие математики исследовали свойства тензора кривизны, геодезические линии, а также поведение связности при конформных деформациях исходной метрики.

В данной работе исследуется уравнение Эйнштейна на трехмерных локально однородных (псевдо)римановых многообразиях с метрической связностью с инвариантным векторным кручением. Доказана теорема о том, что все такие многообразия либо являются многообразиями Эйнштейна относительно связности ЛевиЧивита, либо конформно плоские. Ранее авторами исследовалось уравнение Эйнштейна в случае трехмерных локально симметрических (псевдо)римановых многообразий.

A metric connection with vectorial torsion, or a semi-symmetric metric connection, was discovered by E. Cartan. Later, many mathematicians studied the properties of this connection. For example, K. Yano, I. Agricola and other mathematicians investigated the properties of the curvature tensor, geodesic lines, and also the behavior of the connection under conformal deformations of the original metric.

In this paper, we study the Einstein equation on three-dimensional locally homogeneous (pseudo)Riemannian manifolds with metric connection with invariant vectorial torsion. A theorem is obtained stating that all such manifolds are either Einstein manifolds with respect to the Levi-Civita connection or conformally flat. Earlier, the Einstein equation in the case of three-dimensional locally symmetric (pseudo)Riemannian manifolds have been investigated by the authors. 

алгебры Ливекторное кручениеинвариантные (псевдо)римановы метрикилокально однородные пространствамногообразия Эйнштейна.Einstein manifoldinvariant (pseudo)Riemannian metricLie algebralocally homogeneous spacevectorial torsion.Работа выполнена при поддержке РНФ (грант № 22–21–00111 «Псевдоримановы многообразия с ограничениями на тензор Риччи»).ReferencesCartan E. Sur les vari´et´es a` connexion affine et la th´eorie de la relativit´e g´en´eralis´ee, II // Ann. Ecole Norm. Sup. 1925. V. 42. P. 17–88.Cartan E. Sur les vari´et´es a` connexion affine et la th´eorie de la relativit´e g´en´eralis´ee, II // Ann. Ecole Norm. Sup. 1925. V. 42. P. 17–88.Muniraja G. Manifolds admitting a semi-symmetric metric connection and a generalization of Schur’s theorem // Int. J. Contemp. Math. Sci. 2008. V. 3, N 25. P. 1223–1232.Muniraja G. Manifolds admitting a semi-symmetric metric connection and a generalization of Schur’s theorem // Int. J. Contemp. Math. Sci. 2008. V. 3, N 25. P. 1223–1232.Agricola I., Thier C. The geodesics of metric connections with vectorial torsion // Ann. Global Anal. Geom. 2004. V. 26. P. 321–332.Agricola I., Thier C. The geodesics of metric connections with vectorial torsion // Ann. Global Anal. Geom. 2004. V. 26. P. 321–332.Murathan C., Ozgu¨r C.¨ Riemannian manifolds with a semi-symmetric metric connection satisfying some semisymmetry conditions // Proc. Eston. Acad. Sci. 2008. V. 57, N 4. P. 210– 216.Murathan C., Ozgu¨r C.¨ Riemannian manifolds with a semi-symmetric metric connection satisfying some semisymmetry conditions // Proc. Eston. Acad. Sci. 2008. V. 57, N 4. P. 210– 216.Yilmaz H. B., Zengin F. O., Uysal. S. A.¨ On a semi symmetric metric connection with a special condition on a Riemannian manifold // Eur. J. Pure Appl. Math. 2011. V. 4, N 2. P. 152–161.Yilmaz H. B., Zengin F. O., Uysal. S. A.¨ On a semi symmetric metric connection with a special condition on a Riemannian manifold // Eur. J. Pure Appl. Math. 2011. V. 4, N 2. P. 152–161.Zengin F. O., Demirbag˘ S. A., Uysal. S. A., Yilmaz H. B.¨ Some vector fields on a Riemannian manifold with semi-symmetric metric connection // Bull. Iran. Math. Soc. 2012. V. 38, N 2. P. 479–490.Zengin F. O., Demirbag˘ S. A., Uysal. S. A., Yilmaz H. B.¨ Some vector fields on a Riemannian manifold with semi-symmetric metric connection // Bull. Iran. Math. Soc. 2012. V. 38, N 2. P. 479–490.Agricola I., Kraus M. Manifolds with vectorial torsion // Differ. Geom. Appl. 2016. V. 46. P. 130–147.Agricola I., Kraus M. Manifolds with vectorial torsion // Differ. Geom. Appl. 2016. V. 46. P. 130–147.Yano K. On semi-symmetric metric connection // Rev. Roum. Math. Pures Appl. 1970. V. 15. P. 1579–1586.Yano K. On semi-symmetric metric connection // Rev. Roum. Math. Pures Appl. 1970. V. 15. P. 1579–1586.Barua B., Ray A. Kr. Some properties of a semi-symmetric metric connection in a Riemannian manifold // Indian J. Pure Appl. Math. 1985. V. 16, N 7. P. 736–740.Barua B., Ray A. Kr. Some properties of a semi-symmetric metric connection in a Riemannian manifold // Indian J. Pure Appl. Math. 1985. V. 16, N 7. P. 736–740.De U. C., De B. K. Some properties of a semi-symmetric metric connection on a Riemannian manifold // Istanbul Univ. Fen. Fak. Mat. Der. 1995. V. 54. P. 111–117.De U. C., De B. K. Some properties of a semi-symmetric metric connection on a Riemannian manifold // Istanbul Univ. Fen. Fak. Mat. Der. 1995. V. 54. P. 111–117.Бессе А. Многообразия Эйнштейна. М.: Мир, 1990.Бессе А. Многообразия Эйнштейна. М.: Мир, 1990.Chaturvedi B. B., Gupta B. K. Study on semi-symmetric metric spaces // Novi Sad J. Math. 2014. V. 44, N 2. P. 183–194.Chaturvedi B. B., Gupta B. K. Study on semi-symmetric metric spaces // Novi Sad J. Math. 2014. V. 44, N 2. P. 183–194.Sekigawa K. On some 3-dimensional curvature homogeneous spaces // Tensor N. S. 1977.Sekigawa K. On some 3-dimensional curvature homogeneous spaces // Tensor N. S. 1977.V. 31. P. 87–97.V. 31. P. 87–97.Calvaruso G. Homogeneous structures on three-dimensional Lorentzian manifolds // J. Geom. Phys. 2007. V. 57. P. 1279–1291.Calvaruso G. Homogeneous structures on three-dimensional Lorentzian manifolds // J. Geom. Phys. 2007. V. 57. P. 1279–1291.Клепиков П. Н., Родионов Е. Д., Хромова О. П. Уравнение Эйнштейна на трехмерных локально симметрических (псевдо)римановых многообразиях с векторным кручением // Мат. заметки СВФУ. 2019. Т. 26, № 6. С. 25–36.Клепиков П. Н., Родионов Е. Д., Хромова О. П. Уравнение Эйнштейна на трехмерных локально симметрических (псевдо)римановых многообразиях с векторным кручением // Мат. заметки СВФУ. 2019. Т. 26, № 6. С. 25–36.Milnor J. Curvature of left invariant metric on Lie groups // Adv. Math. 1976. V. 21. P. 293– 329.Milnor J. Curvature of left invariant metric on Lie groups // Adv. Math. 1976. V. 21. P. 293– 329.Rodionov E. D., Slavskii V. V., Chibrikova L. N. Locally conformally homogeneous pseudoRiemannian spaces // Sib. Adv. Math. 2007. V. 17, N 3. P. 186–212.Rodionov E. D., Slavskii V. V., Chibrikova L. N. Locally conformally homogeneous pseudoRiemannian spaces // Sib. Adv. Math. 2007. V. 17, N 3. P. 186–212.Cordero L. A., Parker P. E. Left-invariant Lorentzian metrics on 3-dimensional Lie groups // Rend. Mat. 1997. V. 17. P. 129–155.Cordero L. A., Parker P. E. Left-invariant Lorentzian metrics on 3-dimensional Lie groups // Rend. Mat. 1997. V. 17. P. 129–155.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.