matmessМатематические заметки СВФУMathematical notes of NEFU2411-93262587-876XСеверо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосова10.25587/SVFU.2023.61.58.001matmess-174Research ArticleМАТЕМАТИКАО СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО НЕЛИНЕЙНОГО ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКАON THE EXISTENCE AND UNIQUENESS OF A POSITIVE SOLUTION TO A BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A FOURTH–ORDER NONLINEAR ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONАбдурагимовГ. Э.AbduragimovG. E.

Абдурагимов Гусен Эльдерханович, Дагестанский государственный университет, кафедра прикладной математики, ул. М. Гаджиева, 43-а, Махачкала 367000 

Gusen E. Abduragimov

Dagestan State University,

Department of Applied Mathematics,

43-a M. Gadzhiev Street, Makhachkala 367000, Russia 

gusen_e@mail.ruАбдурагимоваП. Э.AbduragimovaP. E.

Абдурагимова Патимат Эльдерхановна, Дагестанский государственный университет, кафедра прикладной математики, ул. М. Гаджиева, 43-а, Махачкала 367000 

Patimat E. Abduragimova

Dagestan State University,

Department of Applied Mathematics,

43-a M. Gadzhiev Street, Makhachkala 367000, Russia 

abpatuka@mail.ruКурамагомедоваМ. М.KuramagomedovaM. M.

Курамагомедова Мадина Магомедрасуловна Дагестанский государственный университет,

кафедра прикладной математики, ул. М. Гаджиева, 43-а, Махачкала 367000 

Madina M. Kuramagomedova

Dagestan State University,

Department of Applied Mathematics,

43-a M. Gadzhiev Street, Makhachkala 367000, Russia 

madina19.12@mail.ruДагестанский государственный университет, кафедра прикладной математикиРоссияDagestan State University, Department of Applied MathematicsRussian Federation202225032026294310Copyright © Абдурагимов Г.Э., Абдурагимова П.Э., Курамагомедова М.М., 20262026Абдурагимов Г.Э., Абдурагимова П.Э., Курамагомедова М.М.Abduragimov G.E., Abduragimova P.E., kuramagomedova M.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://matmess.elpub.ru/jour/article/view/174

Аннотация. Рассматривается двухточечная краевая задача с однородными граничными условиями для одного нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка на отрезке [0,1]. При ограничениях на правую часть уравнения надлинейного характера получены достаточные условия существования и единственности положительного решения исследуемой задачи. С помощью функции Грина краевая задача редуцируется к эквивалентному интегральному уравнению, и в последующем существование положительного решения доказывается с помощью известной теоремы Красносельского о растяжении конуса. Для установления единственности положительного решения был использован специальный принцип единственности для выпуклых операторов. В заключение приведен пример, иллюстрирующий выполнение полученных достаточных условий однозначной разрешимости поставленной задачи.

Abstract: We consider a two-point boundary value problem with homogeneous boundary conditions for a single nonlinear fourth-order ordinary differential equation on the interval [0,1]. Under restrictions on the right-hand side of the equation of a supralinear nature, sufficient conditions for the existence and uniqueness of a positive solution to the problem under study are obtained. With the help of the Green’s function, the boundary value problem is reduced to an equivalent integral equation, and subsequently the existence of a positive solution is proved using the well-known Krasnoselsky cone extension theorem. To establish the uniqueness of the positive solution, a special principle of uniqueness for convex operators was used. In conclusion, an example is given that illustrates the fulfillment of the obtained sufficient conditions for the unique solvability of the problem posed.

положительное решениекраевая задачаконусконусный отрезок.positive solutionboundary value problemconecone segment.ReferencesDang Q. A., Ngo T. K. Q. Existence results and iterative method for solving the cantilever beam equation with fully nonlinear term // Nonlinear Anal., Real World Appl. 2017. V. 36. P. 56–58.Dang Q. A., Ngo T. K. Q. Existence results and iterative method for solving the cantilever beam equation with fully nonlinear term // Nonlinear Anal., Real World Appl. 2017. V. 36. P. 56–58.Xu M., Ma R. On a fourth-order boundary value problem at resonance // J. Function Spaces. 2017. V. 2017. P. 1–7.Xu M., Ma R. On a fourth-order boundary value problem at resonance // J. Function Spaces. 2017. V. 2017. P. 1–7.Zou Y. On the existence of positive solutions for a fourth-order boundary value problem //Zou Y. On the existence of positive solutions for a fourth-order boundary value problem //J. Function Spaces. 2017. V. 2017. P. 1–5.J. Function Spaces. 2017. V. 2017. P. 1–5.Zhang Y., Cui Y. Positive solutions for two-point boundary value problems for fourth-order differential equations with fully nonlinear terms // Math. Probl. Eng. 2020. V. 2020. P. 1–7.Zhang Y., Cui Y. Positive solutions for two-point boundary value problems for fourth-order differential equations with fully nonlinear terms // Math. Probl. Eng. 2020. V. 2020. P. 1–7.Okamoto Y., Onodera M. Stability analysis of an overdetermined fourth order boundary value problem via an integral identity // J. Differ. Equ. 2021. V. 301. P. 97–111.Okamoto Y., Onodera M. Stability analysis of an overdetermined fourth order boundary value problem via an integral identity // J. Differ. Equ. 2021. V. 301. P. 97–111.Okamoto Y., Onodera M. A class of fourth order nonlinear boundary value problem with singular perturbation // Appl. Math. Lett. 2021. V. 115. P. 56–58.Okamoto Y., Onodera M. A class of fourth order nonlinear boundary value problem with singular perturbation // Appl. Math. Lett. 2021. V. 115. P. 56–58.Ma M. Positive solutions for fourth-order equations with a sign-changing weight and clamped beam boundary bonditions // Bull. Iran. Math. Soc. 2022. V. 48. P. 1945–1958. 8. Ali K. K., Mehanna M. S., Abdelrahman M. I., Shaalan M. A. Analytical and numerical solutions for fourth order Lane–Emden–Fowler equation // Partial Differ. Equ. Appl. Math. 2022. V. 6. P. 1–10.Ma M. Positive solutions for fourth-order equations with a sign-changing weight and clamped beam boundary bonditions // Bull. Iran. Math. Soc. 2022. V. 48. P. 1945–1958. 8. Ali K. K., Mehanna M. S., Abdelrahman M. I., Shaalan M. A. Analytical and numerical solutions for fourth order Lane–Emden–Fowler equation // Partial Differ. Equ. Appl. Math. 2022. V. 6. P. 1–10.Абдурагимов Э. И. Положительное решение двухточечной краевой задачи для одного нелинейного ОДУ четвертого порядка // Изв. вузов. Математика. 2006. № 8. С. 3–6.Абдурагимов Э. И. Положительное решение двухточечной краевой задачи для одного нелинейного ОДУ четвертого порядка // Изв. вузов. Математика. 2006. № 8. С. 3–6.Абдурагимов Э. И. Положительное решение двухточечной краевой задачи для одного нелинейного ОДУ четвертого порядка и численный метод его построения // Вестн. Самар. гос. ун-та. Естественнонауч. сер. 2010. Т. 76, № 2. С. 5–12.Абдурагимов Э. И. Положительное решение двухточечной краевой задачи для одного нелинейного ОДУ четвертого порядка и численный метод его построения // Вестн. Самар. гос. ун-та. Естественнонауч. сер. 2010. Т. 76, № 2. С. 5–12.Абдурагимов Э. И. Существование положительного решения двухточечной краевой задачи для одного нелинейного ОДУ четвертого порядка // Вестн. Самар. гос. ун-та. Естественнонауч. сер. 2014. Т. 121, № 10. С. 9–16.Абдурагимов Э. И. Существование положительного решения двухточечной краевой задачи для одного нелинейного ОДУ четвертого порядка // Вестн. Самар. гос. ун-та. Естественнонауч. сер. 2014. Т. 121, № 10. С. 9–16.Красносельский М. А., Покорный Ю. В. Ненулевые решения уравнений с сильными нелинейностями // Мат. заметки. 1969. Т. 5, № 2. С. 253–260.Красносельский М. А., Покорный Ю. В. Ненулевые решения уравнений с сильными нелинейностями // Мат. заметки. 1969. Т. 5, № 2. С. 253–260.Красносельский М. А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматгиз, 1962.Красносельский М. А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматгиз, 1962.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.