matmessМатематические заметки СВФУMathematical notes of NEFU2411-93262587-876XСеверо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосова10.25587/2411-9326-2025-4-14-30matmess-121Research ArticleМАТЕМАТИКАО строении некоторых пятимерных комплексов C5 двумерных плоскостей в проективном пространстве P5About the structure of some five-dimensional complexes C5 of two-dimensional planes in projective space P5БубякинИ. В.BubyakinI. V.

Бубякин Игорь Витальевич

ул. Кулаковского, 48, Якутск 677891

Igor V. Bubyakin

48 Kulakovsky Street, Yakutsk 677891

bubyakiniv@mail.ruСеверо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова, Институт математики и информатикиРоссияAmmosov North-Eastern Federal University, Institute of Mathematics and Information ScienceRussian Federation2025301220253241430Copyright © Бубякин И.В., 20252025Бубякин И.В.Bubyakin I.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://matmess.elpub.ru/jour/article/view/121

Предметом исследования настоящей статьи является дифференциальная геометрия пятимерных комплексов C5 двумерных плоскостей в проективном пространстве P 5, содержащих конечное число торсов. Настоящая работа относится к исследованиям в области проективно-дифференциальной геометрии на основе метода подвижного репера и метода внешних форм Э. Картана. Эти методы позволяют с единой точки зрения изучать дифференциальную геометрию подмногообразий различных размерностей грассманова многообразия, а также обобщить полученные результаты на более широкие классы многообразий многомерных плоскостей. Для изучения таких подмногообразий применяется грассманово отображение многообразия G(2, 5) на девятимерное алгебраическое многообразие (2, 5) пространства P 19.

В проективном пространстве P 5 рассмотрим пятимерный комплекс C5 двумерных плоскостей L, обладающих конечным числом торсов, принадлежащих этому комплексу. Очевидно, что строение пятимерных комплексов C5 определяется строением инвариантных, принадлежащих им, шести торсов тангенциально вырожденных плоскостных гиперповерхностей ранга 1. Торс в проективном пространстве P 5, образованный двумерными плоскостями, вообще говоря, представляет собой семейство соприкасающихся двумерных плоскостей к некоторой пространственной линии, т. е. имеющей с ней в каждой точке соприкосновение второго порядка. В данной работе выясняется строение пятимерных комплексов C5, содержащих торс, для которого строение определяется в третьей дифференциальной окрестности.

The subject of this study is the differential geometry of five-dimensional complexes C5 of two-dimensional planes in projective space P 5 containing a finite number of developable surfaces. This work pertains to research in the field of projective-differential geometry based on the method of the moving frame and E. Cartan’s method of exterior forms. These methods allow for the study of the differential geometry of submanifolds of various dimensions of the Grassmannian manifold from a unified perspective, as well as the generalization of the obtained results to broader classes of manifolds of multidimensional planes. To study such submanifolds, the Grassmannian mapping of the manifold G(2, 5) to the nine-dimensional algebraic variety (2, 5) in the space P 19 is applied.

In the projective space P 5, we consider a five-dimensional complex C5 of twodimensional planes L that has a finite number of developable surfaces belonging to this complex. It is evident that the structure of the five-dimensional complexes C5 is determined by the structure of six invariant developable surfaces – tangentially degenerate plane hyper-surfaces of rank 1. The developable surface in the projective space P 5 formed by two-dimensional planes represents, generally speaking, a set of tangent two-dimensional planes to some spatial line, which means second-order contact with it at every point. In this work, we will clarify the structure of the five-dimensional complexes C5 containing a developable surface, for which the structure is defined in the third differential neighborhood.

грассманово многообразиекомплексы многомерных плоскостеймногообразие СегреGrassmann manifoldcomplexes of multidimensional planesSegre manifoldReferencesAkivis M. A., Goldberg V. V. Projective differential geometry of submanifolds. Amsterdam: North-Holland, 1993.Akivis M. A., Goldberg V. V., Projective Differential Geometry of Submanifolds, North-Holland, Amsterdam (1993).Акивис М. А., Гольдберг В. В. Многообразия с вырожденным гауссовым отображением с кратными фокусами и скрученные конусы // Изв. вузов. Математика. 2003. № 11. С. 3–14.Akivis M. A. and Goldberg V. V., “Varieties with a degenerate Gauss map with multiple foci and twisted cones,” Russ. Math., 47, No. 11, 1–11 (2003).Akivis M. A., Goldberg V. V. Differential geometry of varieties with degenerate Gauss map. New York: Springer, 2004.Akivis M. A. and Goldberg V. V., Differential Geometry of Varieties With Degenerate Gauss Maps, Springer, New York (2004).Akivis M. A., Goldberg V. V. Conformal differetial geometry and its generalizations. New York: John Wiley & Sons, 2011.Akivis M. A. and Goldberg V. V., Conformal Differential Geometry and Its Generalizations, John Wiley & Sons, New York (1996).Гельфанд И. М., Гиндикин С. Г., Граев М. И. Избранные задачи интегральной геометрии. М.: Добросвет, 2007.Gelfand I. M., Gindikin S. G., and Graev M. I., Selected Problems of Integral Geometry [in Russian], Dobrosvet, Moscow (2007).Нерсесян В. А. Допустимые комплексы трехмерных плоскостей проективного пространства P 6. II // Уч. зап. ЕГУ. Сер. Физика и математика. 2002. Вып. 1. С. 34–38.Nersesyan V. A., “Admissible complexes of three-dimensional planes of projective space P 6, II,” Proc. Yerevan State Univ., Phys. Math. Sci., No. 1, 34–38 (2002).Нерсесян В. А. Допустимые комплексы трехмерных плоскостей проективного пространства P 6. I // Уч. зап. ЕГУ. Сер. Физика и математика. 2001. Вып. 3. С. 35–39.Nersesyan V. A., “Admissible complexes of three-dimensional planes of projective space P 6, I,” Proc. Yerevan State Univ., Phys. Math. Sci., No. 3, 35–39 (2001).Макоха А. Н. Геометрическая конструкция линейного комплекса плоскостей B3 // Изв. вузов. Математика. 2018. № 11. С. 15–26.Makokha A. N., “Geometric construction of a linear complex of planes B3 [in Russian],” Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved., Mat., No. 11, 15–26 (2018).Стеганцева П. Г., Гречнева М. А. Грассманов образ неизотропной поверхности псевдоевклидова пространства // Изв. вузов. Математика. 2017. № 2. С. 65–75.Steganceva P. G. and Grechneva M. A., “Grassmann image of a non-isotropic surface of pseudo-Euclidean space [in Russian],” Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved., Mat., No. 2, 65–75 (2017).Арнольд В. И. Комплексный лагранжев грассманиан // Функцион. анализ и его прил. 2000. Т. 34, вып. 3. С. 63–65.Arnold V. I., “The complex Lagrangian Grassmannian,” Funct. Anal. Appl., 34, No. 3, 63–65 (2000).Арнольд В. И. Лагранжев грассманиан кватернионного гиперсимплектического пространства // Функцион. анализ и его прил. 2001. Т. 35, вып. 1. С. 74–77.Arnold V. I., “Lagrangian Grassmannian of a quaternionic hypersymplectic space,” Funct. Anal. Appl., 35, No. 1, 74–77 (2001).Arkani-Hamed N., Bourjaily J. L., Cachazo F., Goncharov A. B., Postnikov A., Trnka J. Scattering amplitudes and the positive Grassmannian. arxiv:1212.5605. 2012.Arkani-Hamed N., Bourjaily J. L., Cachazo F., Goncharov A. B., Postnikov A., and Trnka J., “Scattering amplitudes and the positive Grassmannian,” arxiv:1212.5605 (2012).Arkani-Hamed N., Trnka J. The amplituhedron // J. High Energy Phys. 2014. V. 2014, N 10.Arkani-Hamed N. and Trnka J., “The amplituhedron,” J. High Energy Phys., No. 10 (2014).Бубякин И. В. Геометрия пятимерных комплексов двумерных плоскостей. Новосибирск: Наука, 2001.Bubyakin I. V., Geometry of Five-Dimensional Complexes of Two-Dimensional Planes [in Russian], Nauka, Novosibirsk (2001).Бубякин И. В. О строении пятимерных комплексов двумерных плоскостей проективного пространства P 5 c единственным торсом // Мат. заметки СВФУ. 2017. Т. 24, № 2. С. 3–12.Bubyakin I. V., “About the structure of five-dimensional complexes of two-dimensional planes in the projective space P 5 with a single developable surface [in Russian],” Mat. Zamet. SVFU, 24, No. 2, 3–12 (2017).Бубякин И. В. О строении комплексов m-мерных плоскостей проективного пространства, содержащих конечное число торсов // Мат. заметки СВФУ. 2017. Т. 24, № 4. С. 3–16.Bubyakin I. V., “About the structure of complexes of m-dimensional planes of projective space containing a finite number of developable surfaces [in Russian],” Mat. Zamet. SVFU, 24, No. 4, 3–16 (2017).Бубякин И. В. О строении некоторых комплексов m-мерных плоскостей проективного пространства, содержащих конечное число торсов. I // Мат. заметки СВФУ. 2019. Т. 26, № 2. С. 3–16.Bubyakin I. V., “About the structure of some complexes of m-dimensional planes of projective space containing a finite number of developable surfaces, I [in Russian],” Mat. Zamet. SVFU, 26, No. 2, 3–16 (2019).Bubyakin I. V. To geometry of complexes of m-dimensional planes in projective space P n, containing a finite number of developable surfaces // Классическая и современная геометрия: Mатериалы Междунар. конф., посв. 100-летию В. Т. Базылева (Москва, 22–25 апреля 2019 г.) (под ред. А. В. Царева). Москва: МГПУ, 2019. С. 17–18.Bubyakin I. V., “To geometry of complexes of m-dimensional planes in projective space P n, containing a finite number of developable surfaces [in Russian],” in: Classical and Modern Geometry, Mat. Int. Conf. on the 100th Anniv. of V. T. Bazylev (Moscow, Apr. 22–25, 2019), pp. 17–18 MGPU, Moscow (2019).Бубякин И. В. О строении некоторых комплексов m-мерных плоскостей проективного пространства, содержащих конечное число торсов. II // Мат. заметки СВФУ. 2019. Т. 26, № 4. С. 14–24.Bubyakin I. V., “About the structure of some complexes of m-dimensional planes of projective space containing a finite number of developable surfaces, II [in Russian],” Mat. Zamet. SVFU, 26, No. 4, 14–24 (2019).Бубякин И. В. О строении некоторых комплексов m-мерных плоскостей проективного пространства, содержащих конечное число торсов // Итоги науки и техники. Соврем. математика и ее прил. Тем. обзоры. 2020. Т. 180. С. 9–16.Bubyakin I. V., “About the structure of some complexes of m-dimensional planes of projective space containing a finite number of developable surfaces [in Russian],” Itogi Nauki Tekh., Ser. Sovrem. Mat. Prilozh., Temat. Obz., 180, 9–16 (2020).Бубякин И. В., Гоголева И. В. К дифференциальной геометрии ρ-мерных комплексов Cρ(1, 1) m-мерных плоскостей проективного пространства P n // Мат. заметки СВФУ. 2021. Т. 28, № 4. С. 3–16.Bubyakin I. V. and Gogoleva I. V., “On the differential geometry of ρ-dimensional complexes of Cρ(1, 1) m-dimensional planes of the projective space P n [in Russian],” Mat. Zamet. SVFU, 28, No. 4, 3–16 (2021).Bubyakin I. V. О комплексах двумерных плоскостей проективного пространства P n, содержащих конечное число торсов и характеризующихся конфигурацией их характеристических прямых // Классическая и современная геометрия: Mатериалы Междунар. конф., посв. 100-летию Л. С. Атанасяна (Москва, 1-4 ноября 2021 г.) (под ред. А. В. Царева). Москва: МГПУ, 2021. С. 52–53.Bubyakin I. V., “On complexes of two-dimensional planes in the projective space P n containing a finite number of developable surfaces and characterized by the configuration of their characteristic lines [in Russian],” in: Classical and Modern Geometry, Mat. Int. Conf. on the 100th Anniv. L. S. Atanasyan (Moscow, Nov. 1–4, 2021) pp. 52–53, MGPU, Moscow (2021).Bubyakin I. V. К дифференциальной геометрии ρ-мерных комплексов Cρ(1, 1) m-мерных плоскостей проективного пространства P n // Тр. Мат. центра им. Н. И. Лобачевского: Мат. Междунар. конф. по алгебре, анализу и геометрии (Казань, 22–28 августа 2021 г.) Казань: Изд-во Академии наук Респ. Татарстан, 2021. Т. 60. С. 372–373.Bubyakin I. V., “On the differential geometry of ρ-dimensional complexes of Cρ(1, 1) mdimensional planes of the projective space P n [in Russian],” in: Tr. Lobachevsky Mat. Tsentra, 60, Mat. Int. Conf. Algebra, Analysis and Geometry (Kazan, Aug. 22–28, 2021), pp. 372–373, Akad. Nauk Tatarstana, Kazan (2021).Бубякин И. В. К дифференциальной геометрии комплексов двумерных плоскостей проективного пространства P n, содержащих конечное число торсов и характеризующихся конфигурацией их характеристических прямых // Итоги науки и техники. Соврем. математика и ее прил. Тем. обзоры. 2023. Т. 221. С. 31–41.Bubyakin I. V., “On the differential geometry of complexes of two-dimensional planes in the projective space P n, containing a finite number of tori and characterized by the configuration of their characteristic lines [in Russian],” Itogi Nauki Tekh., Ser. Sovrem. Mat. Prilozh., Temat. Obz., 221, 31–41 (2023).Akivis M. A. On the differential geometry of a Grassmann manifold // Tensor. 1982. V. 38. P. 273–282.Akivis M. A., “On the differential geometry of a Grassmann manifold,” Tensor, New Ser., 38, 273–282 (1982).Акивис M. A. Ткани и почти грассмановы структуры // Сиб. мат. журн. 1982. Т. 23, № 6. С. 6–15.Akivis M. A., “Webs and almost Grassmannian structures [in Russian],” Sib. Mat. Zh., 23, No. 6, 6–15 (1982).Room T. G. The geometry of determinantal loci. Cambridge: Camb. Univ. Press, 1938.Room T. G., The Geometry of Determinantal Loci, Camb. Univ. Press, Cambridge (1938).Landsberg J. M. Algebraic geometry and projective differential geometry. Seoul: Seoul Nat. Univ., 1999. (Lect. Notes Ser., Seoul; vol. 45).Landsberg J. M., Algebraic Geometry and Projective Differential Geometry, Seoul Nat. Univ., Seoul (1999) (Lect. Notes Ser., Seoul; vol. 45).Харрис Дж. Алгебраическая геометрия. Начальный курс. М.: МЦНМО, 2006.Harris J., Algebraic Geometry, Basic Course [in Russian], MTsNMO, Moscow (2006).Мизин А. Г. О фундаментальном соответствии между семействами многомерных плоскостей проективного пространства // Изв. вузов. Математика. 1989. № 12. С. 27–29.Mizin A. G., “About the fundamental correspondence between set of multidimensional planes of projective space [in Russian],” Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved., Mat., No. 12, 27–29 (1989).Мизин А. Г. Гиперкомплексы двумерных плоскостей в проективном пространстве P6 // Вестн. Томск. гос. ун-та. Математика и механика. 2009. № 1. С. 17–26.Mizin A. G., “Hypercomplexes of two-dimensional planes in projective space P6 [in Russian],” Vestn. Tomsk. Gos. Univ., Mat. Mekh., No. 1, 17–26 (2009).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.