matmessМатематические заметки СВФУMathematical notes of NEFU2411-93262587-876XСеверо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосова10.25587/2411-9326-2024-1-88-101matmess-117Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕИсследование нелинейного параболического и линейного гиперболического операторов теплопроводностиStudy of linear parabolic and linear hyperbolic thermal conduction operatorsЖуковВ. В.ZhukovV. V.

Жуков Виталий Владимирович 

Vitaliy V. Zhukov 

КрюковЮ. А.KryukovYu. A.

Крюков Юрий Александрович

ул. Молодогвардейская, 244, Самара 443100

Yuri A. Kryukov

244 Molodogvardeyskaya Street, Samara 443100

ТрубицынК. В.TrubitsynK. V.

Трубицын Константин Викторович

ул. Молодогвардейская, 244, Самара 443100

Konstantin V. Trubitsyn

244 Molodogvardeyskaya Street, Samara 443100

КудиновВ. А.KudinovV. A.

Кудинов Василий Александрович

ул. Молодогвардейская, 244, Самара 443100

Vasily A. Kudinov

244 Molodogvardeyskaya Street, Samara 443100

КотоваЕ. В.KotovaE. V.

Котова Евгения Валериевна

ул. Молодогвардейская, 244, Самара 443100

Evgenia V. Kotova

244 Molodogvardeyskaya Street, Samara 443100

РКЦ <Прогресс>РоссияRKTs ProgressRussian FederationРКЦ <Прогресс>; Самарский государственный технический университет, кафедра <Физика>РоссияRKTs Progress; Physics Department, Samara State Technical UniversityRussian FederationСамарский государственный технический университет, теплоэнергетический факультет, кафедра <Теоретически основы теплотехники гидромеханика>РоссияDepartment of Theoretical Foundations of Heat Engineering and Hydromechanics, Faculty of Thermal Power Engineering, Samara State Technical UniversityRussian FederationСамарский государственный технический университет, кафедра <Теоретические основы теплотехники и гидромеханика>РоссияDepartment of Theoretical Foundations of Heat Engineering and Hydromechanics, Samara State Technical UniversityRussian FederationСамарский государственный технический университет, кафедра <Теоретически основы теплотехники гидромеханика>РоссияDepartment of Theoretical Foundations of Heat Engineering and Hydromechanics, Samara State Technical UniversityRussian Federation20243003202431188101Copyright &#x00A9; Жуков В.В., Крюков Ю.А., Трубицын К.В., Кудинов В.А., Котова Е.В., 20242024Жуков В.В., Крюков Ю.А., Трубицын К.В., Кудинов В.А., Котова Е.В.Zhukov V.V., Kryukov Y.A., Trubitsyn K.V., Kudinov V.A., Kotova E.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://matmess.elpub.ru/jour/article/view/117

Выполнено исследование численного решения нелинейной задачи теплопроводности для пластины с нелинейным источником теплоты (коэффициент теплопроводности и внутренний источник теплоты - экспоненциальные функции температуры). В частности, в нелинейной задаче найдены явления автомодельности, инерции и локализации теплоты, проявляющихся также и в решениях линейных гиперболических уравнений теплопроводности. При автомодельном изменении температуры в некоторых диапазонах пространственной и временно´й переменных наблюдается подобие (самоподобие) температурных кривых. При локализации теплоты в определенном диапазоне пространственной переменной температура с течением времени не изменяется. Инерция теплоты обнаруживается в конечной скорости ее распространения, несмотря на решение параболического уравнения теплопроводности. Перечисленные явления наблюдаются также и в решениях линейных гиперболических уравнений теплопроводности, при выводе которых учитывается временна´я зависимость теплового потока в формуле закона Фурье, приводящая к конечной скорости распространения теплоты. В нелинейных задачах подобный эффект проявляется вследствие зависимости физических свойств и источника теплоты от температуры, приводящей к аналогичной задержке теплового потока.

We study the numerical solution to the nonlinear heat conduction problem for a plate with a nonlinear heat source (thermal conductivity coefficient and internal heat source are exponential functions of temperature). In particular, for the nonlinear problem, the phenomena of self-similarity, inertia, and heat localization were found, which also manifest themselves in solutions of linear hyperbolic heat equations. With a self-similar change in temperature in some ranges of spatial and temporal variables, similarity (self-similarity) of temperature curves is observed. When heat is localized in a certain range of spatial variable, the temperature does not change over time. The inertia of heat is revealed in the finite speed of its propagation, despite the solution of the parabolic heat equation. The listed phenomena are also observed in solutions of linear hyperbolic heat equations, the derivation of which takes into account the time dependence of the heat flow in the formula of Fourier’s law, leading to a finite rate of heat propagation. In nonlinear problems, a similar effect manifests itself due to the dependence of the physical properties and heat source on temperature, leading to a similar delay in heat flow.

нелинейная краевая задачазависимость физических свойств и источника теплоты от температурычисленное решениеинерция и локализация теплотыавтомодельное изменение температурытепловой взрывгиперболические уравнения теплопроводностиnonlinear boundary value problemdependence of physical properties and heat source on temperaturenumerical solutioninertia and heat localizationself-similar temperature changethermal explosionhyperbolic heat equationsReferencesСамарский A. A. Компьютеры и нелинейные явления: Информатика и современное естествознание. М.: Наука, 1988.Samarskii A. A., Computers and Nonlinear Phenomena: Computer Science and Modern Natural Science [in Russian], Nauka, Moscow (1988).Сон Э. С., Бондарь В. С., Темис Ю. М., Азметов Х. Х. Разрушение высоковольтных трансформаторов при взрыве и взаимодействии ударных волн со стенками // Теплофизика высоких температур, 2020. Т. 58. № 5. С. 770.Son E. S., Bondar V. S., Temis Yu. M., and Azmetov Kh. Kh., “Destruction of high-voltage transformers during explosion and interaction of shock waves with walls,” High Temperature, 58, No. 5, 699–709 (2020).Зельдович Я. Б., Райзер Ю. П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М.: Физматлит, 2008.Zeldovich Ya. B. and Raiser Yu. P., Physics of Shock Waves and High-Temperature Hydrodynamic Phenomena [in Russian], Fizmatlit, Moscow (2008).Малинецкий Г. Г. Математические основы синергетики: Хаос, структуры, вычислительный эксперимент. М.: Книжный дом <ЛИБРОКОМ>, 2009.Malinetsky G. G., Mathematical Foundations of Synergetics: Chaos, Structures, Computational Experiment [in Russian], Librokom, Moscow (2009).Жаворонок С. И., Курбатов А. С., Рабинский Л. Н., Соляев Ю. О. Современные проблемы моделирования теплопереноса в технологических процессах селективного лазерного спекания и сплавления // Теплофизика высоких температур. 2019. Т. 57, № 6. С. 919.Zhavoronok S. I., Kurbatov A. S., Rabinsky L. N., and Solyaev Yu. O., “Modern problems of heat transfer modeling in technological processes of selective laser sintering and alloying,” High Temperature, 57, No. 6, 916–943 (2019).Кудинов В. А., Еремин А. В., Кудинов И. В., Жуков В. В. Критические условия теплового взрыва с учетом пространственно-временной нелокальности // Изв вузов. Авиационная техника. 2018. № 2. С. 100–104.Kudinov V. A., Eremin A. V., Kudinov I. V., and Zhukov V. V., “Critical conditions of a thermal explosion taking into account spatiotemporal nonlocality [in Russian],” Izv. Vuzov, Aviats. Tekhnol., No. 2, 100–104 (2018).Формалев В. Ф. Численные исследование двумерных нелинейных задач теплопроводности в анизотропных телах // Теплофизика высоких температур. 1988. Т. 26, № 6. C. 1122.Formalev V. F., “Numerical study of two-dimensional nonlinear heat conduction problems in anisotropic bodies [in Russian],” High Temperature, 26, No. 6, 1122–1128 (1988).Формалев В. Ф. Теплоперенос в анизотропных твердых телах. Численные методы, тепловые волны, обратные задачи. М.: Физматлит, 2015.Formalev V. F., Heat Transfer in Anisotropic Solids, Numerical Methods, Thermal Waves, Inverse Problems [in Russian], Fizmatlit, Moscow (2015).Кудинов И. В., Кудинов В. А. Аналитические решения параболических и гиперболических уравнений тепломассопереноса. М.: ИНФРА-М, 2013.Kudinov I. V. and Kudinov V. A., Analytical Solutions of Parabolic and Hyperbolic Heat and Mass Transfer Equations [in Russian], INFRA-M, Moscow (2013).Карташов Э. М., Кудинов В. А., Калашников В. В. Теория тепломассопереноса: Решение задач для многослойных конструкций. М.: Юрайт, 2018.Kartashov E. M., Kudinov V. A., and Kalashnikov V. V., Theory of Heat and Mass Transfer: Solving Problems for Multilayer Structures [in Russian], Yurayt, Moscow (2018).Цой П. В. Системные методы расчета задач тепломассопереноса. М.: Изд-во МЭИ, 2005.Tsoi P. V., System Methods for Calculating Heat and Mass Transfer Problems [in Russian], Izdat. MPEI, Moscow (2005).Чернавский Д. С. Синергетика и информация (динамическая теория информации). М.: Едиториал УРСС, 2004.Chernavsky D. S., Synergetics and Information (Dynamic Theory of Information) [in Russian], Editorial URSS, Moscow (2004).Иногамова Н. А., Петрова Ю. В., Хохлова В. А., Жаховский В. В. Лазерная абляция: физические представления и приложения (обзор) // Теплофизика высоких температур. 2020. Т. 58. № 5. С. 689.Inogamova N. A., Petrova Yu. V., Khokhlova V. A., and Zhakhovsky V. V., “Laser ablation: physical concepts and applications (review),” High Temperature, 58, No. 4, 632–646 (2020).Соболев С. Л. Процессы переноса и бегущие волны в локально-неравновесных системах // Успехи физ. наук. 1991. Т. 161, № 3. С. 5–29.Sobolev S. L., “Transport processes and traveling waves in locally nonequilibrium systems [in Russian],” Uspekhi Fiz. Nauk, 161, No. 3, 5–29 (1991).Соболев С. Л. Локально-неравновесные модели процессов переноса // Успехи физ. наук. 1997. Т. 167, № 10. С. 1096–1106.Sobolev S. L., “Locally nonequilibrium models of transport processes [in Russian],” Uspekhi Fiz. Nauk, 167, No. 10, 1096–1106 (1997).Кудинов В. А., Кудинов И. В. Исследование теплопроводности с учетом конечной скорости распространения теплоты // Теплофизика высоких температур. 2013. Т. 51, № 2. С. 301–310.Kudinov V. A. and Kudinov I. V., “Study of thermal conductivity taking into account the finite speed of heat propagation,” High Temperature, 51, No. 2, 268–276 (2013).Федоров Ф. М. Граничный метод решения прикладных задач математической физики. Новосибирск: Наука. 2000.Fedorov F. M., Boundary Method for Solving Applied Problems of Mathematical Physics [in Russian], Nauka, Novosibirsk (2000).Шашков А. Г., Бубнов В. А., Яновский С. Ю. Волновые явления теплопроводности: системно-структурный подход. Изд. 2-е, доп. М.: Едиториал УРСС, 2004.Shashkov A. G., Bubnov V. A., and Yanovsky S. Yu., Wave Phenomena of Thermal Conductivity: a System-Structural Approach [in Russian], Editorial URSS, Moscow (2004).Шибков В. М., Шибкова Л. В., Копыл П. В., Логунов А. А. Стабилизация с помощью низкотемпературной плазмы сверхзвукового горения пропана в расширяющемся аэродинамическом канале // Теплофизика высоких температур 2019. Т. 57, № 2. С. 183.Shibkov V. M., Shibkova L. V., Kopyl P. V., and Logunov A. A., “Stabilization using lowtemperature plasma of supersonic combustion of propane in an expanding aerodynamic channel,” High Temperature, 57, No. 2, 164–176 (2019).Кудинов B. A., Еремин А. В., Кудинов И. В., Жуков В. В. Исследование сильнонеравновесной модели теплового воспламенения с учетом пространственно-временно´й нелокальности // Физика горения и взрыва. 2018. Т. 54, № 6. С. 25–29.Kudinov V. A., Eremin A. V., Kudinov I. V., and Zhukov V. V., “Study of a highly nonequilibrium model of thermal ignition taking into account spatiotemporal nonlocality,” Phys. Combust. Explos., 54, No. 6, 25–29 (2018).Жуков В. В. Исследование внутренних механизмов переноса тепла, массы, импульса с учетом релаксационных явлений. Канд. дис. М.: МАИ. 2021.Zhukov V. V., Study of Internal Mechanisms of Heat, Mass, Momentum Transfer Taking into Account Relaxation Phenomena [in Russian], Diss Kand. Fiz.-Mat. Nauk, Mosk. Aviats. Inst., Moscow (2021).Калиткин Н. Н., Корякин П. В. Численные методы. В двух книгах. Книга 2. Методы математической физики. М.: Академия, 2013.Kalitkin N. N. and Koryakin P. V., Numerical Methods, Book 2. Methods of Mathematical Physics [in Russian], Akademia, Moscow (2013).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.