matmessМатематические заметки СВФУMathematical notes of NEFU2411-93262587-876XСеверо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосова10.25587/2411-9326-2024-1-56-69matmess-113Research ArticleМАТЕМАТИКАПараболические уравнения с вырождением и неизвестным коэффициентомParabolic equations with degeneracy and unknown coefficientКожановА. И.KozhanovA. I.

Кожанов Александр Иванович

4, Новосибирск 630090

ул. Пирогова, 1, Новосибирск 630090

Aleksandr I. Kozhanov

4 Koptyug Avenue, 630090 Novosibirsk

1 Pirogov Street, 630090 Novosibirsk

АшуроваГ. Р.AshurovaG. R.

Ашурова Гузел Рашитхужакызы

пр. Aль-Фараби, 71, Алматы 050040

Guzel R. Ashurova

71 Al-Farabi Avenue, 050040 Almaty

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Академика Коптюга; Новосибирский государственный университетРоссияSobolev Institute of Mathematics; Novosibirsk State UniversityRussian FederationКазахский национальный университет им. Аль-ФарабиКазахстанAl-Farabi Kazakh National UniversityKazakhstan2024300320243115669Copyright © Кожанов А.И., Ашурова Г.Р., 20242024Кожанов А.И., Ашурова Г.Р.Kozhanov A.I., Ashurova G.R.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://matmess.elpub.ru/jour/article/view/113

Работа посвящена исследованию разрешимости в пространствах С. Л. Соболева нелинейных обратных задач определения вместе с решением u(x, t) параболического уравнения также неизвестного зависящего от времени коэффициента самого уравнения. Изучаемые задачи являются новыми, поскольку исходное параболическое уравнение вырождающееся. В качестве условий переопределения в работе используются условия интегрального переопределения по области или ин- тегрального граничного переопределения. Доказываются теоремы существования и единственности регулярных решений, т. е. решений, имеющих все обобщенные по С. Л. Соболеву производные, входящие в соответствующее уравнение.

The work is devoted to investigating the solvability in Sobolev spaces of nonlinear inverse problems of determination, along with the solution u(x, t) of a parabolic equation, the unknown coefficient dependent on time. The studied problems are unique since the original parabolic equation is degenerate. As the integral overdetermination conditions, we use domain-wide integral overdetermination conditions or integral boundary overdetermination conditions. The existence and uniqueness theorems are proved for regular solutions, i.e. the solutions having all generalized derivatives included in the corresponding equation.

параболические уравнениявырождениенелинейные обратные коэффициентные задачиинтегральное переопределениерегулярные решениясуществованиеединственностьparabolic equationsdegenerationnonlinear inverse coefficient problemsintegral overdeterminationregular solutionsexistenceuniquenessReferencesPrilepko A. I., Orlovsky D. G., Vasin I. A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. New York: Marcel Dekker, 1999.Prilepko A. I., Orlovsky D. G., and Vasin I. A., Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics, Marcel Dekker, New York (1999).Ivanchov M. Inverse problems for equations of parabolic type. Lviv: WNTI Publ., 2003.Ivanchov M., Inverse Problems for Equations of Parabolic Type, WNTI Publ., Lviv (2003).Кабанихин С. И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Сиб. книж. изд-во, 2009.Kabanikhin S. I., Inverse and Ill-Posed Problems [in Russian], Sib. Knizh. Izdat., Novosibirsk (2009).Сабитов К. Б. Обратные задачи для уравнений математической физики. М.: Наука, 2023.Sabitov K. B., Inverse Problems for Equations of Mathematical Physics [in Russian], Nauka, Moscow (2023).Hussein M. S., Lessnic D., Ivanchov N. I. Simultaneous determination of time dependent coefficients in the heat equation // Comput. Math. Appl. 2014. V. 67. P. 1065–1091.Hussein M. S., Lessnic D., and Ivanchov N. I., “Simultaneous determination of time dependent coefficients in the heat equation,” Comput. Math. Appl., 67, 1065–1091 (2014).Safiullova R. R. Solvability of nonlinear inverse problem for hyperbolic equation // J. Math. Sci. 2018. V. 228, N 4. P. 431-448.Safiullova R. R., “Solvability of nonlinear inverse problem for hyperbolic equation,” J. Math. Sci., 228, No. 4, 431–448 (2018).Belonogov V. A., Pyatkov S. G. On some classes of inverse problems of determining the heat transfer coefficient in layered media // Sib. Math. J. 2022. V. 63, N 2. P. 252–271.Belonogov V. A. and Pyatkov S. G., “On some classes of inverse problems of determining the heat transfer coefficient in layered media,” Sib. Math. J., 63, No. 2, 252–271 (2022).Kozhanov A. I., Shipina T. N. Nonlinear inverse problems for parabolic equations with timedependent coefficients. Reduction to nonlocal problems with Samarski–Ionkin type conditions // J. Math. Sci. 2023. V. 274, N 4. P. 523–533.Kozhanov A. I. and Shipina T. N., “Nonlinear inverse problems for parabolic equations with time-dependent coefficients. Reduction to nonlocal problems with Samarski–Ionkin type conditions,” J. Math. Sci., 274, No. 4, 523–533 (2023).Кожанов А. И. Параболические уравнения с неизвестными коэффициентами, зависящими от времени // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2017. Т. 57, № 6. C. 961–972.Kozhanov A. I., “Parabolic equations with unknown time-dependent coefficients,” Comput. Math. Math. Phys., 57, No. 6, 961–972 (2017).Камынин В. Л. Об обратной задаче определения зависящего от пространственной переменной младшего коэффициента в параболическом уравнении со слабым вырождением // Итоги науки и техники. Сер. Соврем. математика и ее прил. Тем. обзоры. 2022. Т. 206. C. 68–81.Kamynin V. L., “On the inverse problem of determining the lowest coefficient depending on a spatial variable in a parabolic equation with weak degeneracy [in Russian],” Itogi Nauki i Tekn., Sovremen. Mat. Pril., Temat. Obzory, 206, 68–81 (2022).Камынин В. Л. Об обратных задачах для сильно вырождающихся параболических уравнений при условии интегрального наблюдения // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2018. Т. 58, № 12. С. 2075–2094.Kamynin V. L., “On inverse problems for strongly degenerate parabolic equations under the condition of integral observation,” Comput. Math. Math. Phys., 58, No. 12, 2002–2017 (2018)Камынин В. Л. О корректной разрешимости обратной задачи определения правой части в вырождающемся параболическом уравнении с условием интегрального наблюдения // Мат. заметки. 2015. Т. 98, № 5. С. 710–724.Kamynin V. L., “On the correct solvability of the inverse problem of determining the right side in a degenerate parabolic equation with the condition of integral observation,” Math. Notes, 98, No. 5, 710–724 (2015).Кожанов А. И., Абылкаиров У. У., Ашурова Г. Р. Обратные задачи определения коэффициентов временного типа в вырождающемся параболическом уравнении // Вестн. КарГУ. Сер. Математика. 2022. Т. 106, №2. С. 128–142.Kozhanov A. I., Abylkairov U. U., and Ashurova G. R., “Inverse problems of determining time-type coefficients in degenerate parabolic equations [in Russian],” Vestn. KarGU, Ser. Mat., 106, No. 2, 128–142 (2022).Ашурова Г. Р. Обратные коэффициентные задачи для вырождающихся параболических уравнений // Междунар. науч. конф. <Обратные и некорректные задачи в естествознании>. Алматы, 2023. С. 30.Ashurova G. R., “Inverse coefficient problems for degenerate parabolic equations [in Russian],” in: Mezhdunar. Nauch. Konf. "Inverse and Ill-Posed Problems in Natural Science," p. 30, Almaty (2023).Нахушев А. М. Нагруженные уравнения и их применения. М.: Наука, 2012.Nakhushev A. M., Loaded Equations and Their Applications [in Russian], Nauka, Moscow (2012).Дженалиев М. Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений. Алматы: Ин-т теор. и прикл. математики, 1995.Dzhenaliev M. T., On the Theory of Linear Boundary Value Problems for Loaded Differential Equations [in Russian], Inst. Theor. Appl. Math., Almaty (1995).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.