matmessМатематические заметки СВФУMathematical notes of NEFU2411-93262587-876XСеверо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосова10.25587/SVFU.2023.49.50.003matmess-102Research ArticleМАТЕМАТИКАКраевая задача на полуоси для обыкновенного дифференциального уравнения с дробной производной КапутоA boundary value problem on the semi-axis for an ordinary differential equation with a fractional Caputo derivativeЕгоровИ. Е.EgorovI. E.

Егоров Иван Егорович

ул. Кулаковского, 48, Якутск 677000

Ivan E. Egorov

58 Belinsky Street, Yakutsk 677891, Russia

ivanegorov51@mail.ruФедотовЕ. Д.FedotovE. D.

Федотов Егор Дмитриевич

ул. Белинского, 58, Якутск 677891

Egor D. Fedotov

48 Kulakovsky Street, Yakutsk 677000, Russia

egorfedotov2011@gmail.comНаучно-исследовательский институт математики СВФУРоссияAmmosov North-Eastern Federal University, Scientific Research Institute of MathematicsRussian FederationЯкутское отделение Регионального научно-образовательного математического центра «Дальневосточный центр математических исследований»РоссияYakutsk Branch of the Regional Scientific and Educational Mathematical Center "Far Eastern Center of Mathematical Research"Russian Federation2023300620233023039Copyright © Егоров И.Е., Федотов Е.Д., 20232023Егоров И.Е., Федотов Е.Д.Egorov I.E., Fedotov E.D.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://matmess.elpub.ru/jour/article/view/102

Рассмотрена однозначная разрешимость краевой задачи на полуоси для обыкновенного дифференциального уравнения высокого порядка с дробной производной Капуто и постоянными коэффициентами в классе ограниченных функций, где порядок дробной производной Капуто лежит на промежутке (0, 1). Высокие порядки дробной производной получаются путем композиции дробных производных Капуто. Дробная производная Капуто при целых порядках совпадает с классическим понятием производной, при этом рассматриваемая задача становится классической краевой задачей на полуоси для обыкновенного дифференциального уравнения высокого порядка. Для рассматриваемого уравнения построена фундаментальная система решений в классе ограниченных функций. Получены условия типа Лопатинского для граничных операторов, при которых краевая задача однозначно разрешима в классе ограниченных функций.

The paper considers the unique solvability of a boundary value problem on the semiaxis for a higher-order ordinary differential equation with a fractional Caputo derivative and constant coefficients in the class of bounded functions, where the order of the fractional Caputo derivative lies in the interval (0, 1). Higher orders of the fractional derivative are obtained by composing fractional Caputo derivatives. A special case of the fractional Caputo derivative for integer orders of the derivative coincides with the classical concept of the derivative and the problem under consideration becomes a classical boundary value problem on the half-axis for a higher-order ordinary differential equation. For the equation under consideration, a fundamental system of solutions in the class of bounded functions is constructed. Conditions of the Lopatinsky type for boundary operators are obtained under which the boundary value problem is uniquely solvable in the class of bounded functions.

производная Капутокраевая задачарешениеоценкаCaputo derivativeboundary value problemsolutionestimateReferencesПетровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Физматлит, 2009.Petrovsky I. G., Lectures on the Theory of Ordinary Differential Equations [in Russian], Fizmatlit, Moscow (2009)Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1970.Pontryagin L. S., Ordinary Differential Equations [in Russian], Nauka, Moscow (1970).Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.Hartman F., Ordinary Differential Equations [in Russian], Mir, Moscow (1970).Демиденко Г. В., Успенский С. В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной. Новосибирск: Науч. кн., 1998.Demidenko G. V. and Uspensky S. V., Equations and Systems That Are Not Resolved with Respect to the Highest Derivative [in Russian], Nauchn. Kniga, Novosibirsk (1998).Oldham K. B., Spanier J. The fractional calculus. New York: Acad. Press, 1974.Oldham K. B. and Spanier J., The Fractional Calculus, Acad. Press, New York (1974).Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987.Samko S. G., Kilbas A. A., and Marichev O.I. , Fractional Integrals and Derivatives and Some of Their Applications [in Russian], Nauka i Tekhnika, Minsk (1987).Podlubny I. Fractional differential equations. San Diego: Acad. Press, 1999.Podlubny I., Fractional Differential Equations, Acad. Press, San Diego (1999).Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003.Nakhushev A. M., Fractional Calculus and Its Applications [in Russian], Fizmatlit, Moscow (2003).Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005.Pskhu A. V., Equations in Partial Derivatives of Fractional Order [in Russian], Nauka, Moscow (2005).Мамчуев М. О. Краевые задачи для уравнений и систем уравнений с частными производными дробного порядка. Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2013.Mamchuev M. O., Boundary Value Problems for Equations and Systems of Equations with Partial Derivatives of Fractional Order [in Russian], Izdat. KBNTs RAN, Nalchik (2013).Caputo M. Linear models of dissipation whose Q is almost frequency independent // Ann. Geofis. 1966. V. 19. P. 383–393.Caputo M., “Linear models of dissipation whose Q is almost frequency independent,” Ann. Geofis., 19, 383–393 (1966).Марзан С. А. Нелинейное дифференциальное уравнение дробного порядка с дробной производной Капуто в пространстве непрерывных функций // Тр. Ин-та математики НАН Беларуси. Минск, 2004. Т. 12, № 2. С. 99–103.Marzan S. A., “Nonlinear differential equation of fractional order with fractional Caputo derivative in the space of continuous functions,” Tr. Inst. Mat. NAN Belarusi, Minsk, 12, No. 2, 99–103 (2004).Kilbas A. A., Marzan S. A. Cauchy problem for differential equation with Caputo derivative // Fract. Calc. Appl. Anal. 2004. V. 7, N 3. P. 297–321.Kilbas A. A and Marzan S. A., “Cauchy problem for differential equation with Caputo derivative,” Fract. Calc. Appl. Anal., 7, No. 3, 297–321 (2004).Kilbas A. A. New trends on fractional integral and differential equations // Тр. геометрического семинара. Казанский гос. ун-т. Уч. зап. Сер. физ.-мат. науки. 2005. Т. 147, № 1. С. 72–106.Kilbas A. A., “New trends on fractional integral and differential equations,” Uch. Zap. Kazan. Gos. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 147, No. 1, 72–106 (2005).Gomoyunov M. I. On representation formulas for solutions of linear differential equations with Caputo fractional derivatives // Fractional Calc. Appl. Anal. 2020. V. 23, N 4. P.1141–1160. https://doi.org/10.1515/fca-2020-0058.Gomoyunov M. I., “On representation formulas for solutions of linear differential equations with Caputo fractional derivatives,” Fract. Calc. Appl. Anal., 23, No. 4, 1141–1160 (2020).Atanackovic T., Dolicanin D., Pilipovic S., Stankovic B. Cauchy problems for some classes of linear fractional differential equations // Fract. Calc. Appl. Anal. 2014. V. 17, N 4. P. 1039–1059. DOI: 10.2478/s13540-014-0213-1.Atanackovic T., Dolicanin D., Pilipovic S., and Stankovic B., “Cauchy problems for some classes of linear fractional differential equations,” Fract. Calc. Appl. Anal., 17, No. 4, 1039–1059 (2014).Bonilla B., Rivero M., Trujillo J. J. On systems of linear fractional differential equations with constant coefficients // Appl. Math. Comput. 2007. V. 187, N 1. 68?78. DOI: 10.1016/j.amc.2006.08.104.Bonilla B., Rivero M., and Trujillo J. J., “On systems of linear fractional differential equations with constant coefficients,” Appl. Math. Comput., 187, No. 1, 68–78 (2007).Chikriy A. A., Matichin I. I. Presentation of solutions of linear systems with fractional derivatives in the sense of Riemann–Liouville, Caputo and Miller–Ross // J. Autom. Inf. Sci. 2008. V. 40, N 6. P. 1–11. DOI: 10.1615/JAutomatInfScien.v40.i6.10.Chikriy A. A. and Matichin I. I., “Presentation of solutions of linear systems with fractional derivatives in the sense of Riemann–Liouville, Caputo and Miller–Ross,” J. Autom. Inf. Sci., 40, No. 6, 1–11 (2008).Diethelm K. The analysis of fractional differential equations. An application-oriented exposition using differential operators of Caputo type. Berlin: Springer-Verl., 2010. (Lect. Notes Math.; V. 2004).Diethelm K., The Analysis of Fractional Differential Equations, An Application-Oriented Exposition Using Differential Operators of Caputo Type, Springer, Berlin (2010) (Lect. Notes Math.; vol. 2004).Duan J. A generalization of the Mittag-Leffler function and solution of system of fractional differential equations // Adv. Differ. Equ. 2018. Art. no. 239. DOI: 10.1186/s13662-018-1693-9.Duan J., “A generalization of the Mittag-Leffler function and solution of system of fractional differential equations,” Adv. Differ. Equ., Article No. 239 (2018).Idczak D., Kamocki R. On the existence and uniqueness and formula for the solution or R-L fractional Cauchy problem in Rn // Fract. Calc. Appl. Anal. 2011. V. 14, N 4. P. 538–553. DOI: 10.2478/s13540-011-0033-5.Idczak D. and Kamocki R., “On the existence and uniqueness and formula for the solution or R-L fractional Cauchy problem in Rn,” Fract. Calc. Appl. Anal., 14, No. 4, 538–553 (2011).Bateman Manuscript Project. Higher Transcendental Functions (H. Bateman, A. Erd´elyi, ed.). V. 3. New York: McGraw-Hill, 2006.Bateman Manuscript Project, Higher Transcendental Functions (H. Bateman and A. Erd´elyi, ed.), vol. 3, McGraw-Hill, New York (1953).Ahmad B., Henderson J., Luca R. Boundary value problems for fractional differential equations and systems. Hackensack, NJ: World Sci., 2021 (Trends Abstract Appl. Anal.; V. 9).Ahmad B., Henderson J., and Luca R., Boundary Value Problems for Fractional Differential Equations and Systems, World Sci., Hackensack, NJ (2021) (Trends Abstract Appl. Anal.; vol. 9).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.